Описываемых уравнением

Пример. Найдем результат сложения двух колебаний, описываемых уравнениями i>j = cos и< и i>2 = cos (со + Дю) t. В комплесной форме, применяя тождество (112), получаем

Применение классического метода наименьших квадратов для оценки коэффициентов трендовых кривых, описываемых уравнениями, нелинейными по параметрам, приводит к ряду вычислительных трудностей, связанных с нелинейностью системы уравнений, из которой определяются неизвестные коэффициенты. Для решения таких систем применяют итеративные методы, часто обладающие плохой сходимостью.

.прерывных динамических систем, описываемых уравнениями с полиноми-

В монографии рассмотрены вопросы моделирования тепловых и напряженных состояний элементов конструкций. Изложены методы изучения этих состояний на моделях, в частности методы сеток, муара, фотоупругости и др. Приводятся основные принципы моделирования явлений, описываемых уравнениями Пуассона, Лапласа, Фурье. Даны основы теории подобия и теории размерностей в приложении к задачам прочности элементов конструкций, работающих в экстремальных условиях теплового и механического нагружения. В работе использованы материалы наиболее известных фундаментальных исследований, в том числе и результаты исследований автора.

Выше отмечалось, что любое явление описывается замкнутой системой уравнений и что число этих уравнений в системе должно быть равным числу неизвестных. При этом не вникали в характер этих уравнений, хотя и рассматривали некоторые частные примеры. В основном это были дифференциальные уравнения математической физики. Известно, что при выводе этих уравнений, как и при составлении уравнений математической физики, используются самые общие законы природы. Специфические особенности исследуемого явления находят отражение в конкретных формах дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения являются математической записью фундаментальных законов природы. Вместе с тем эти уравнения еще не дают конкретных данных для описания исследуемых явлений. Все явления, независимо от их индивидуальных признаков, описываются одинаковой системой уравнений. Таким образом, видим, что система дифференциальных уравнений (в частном случае — одно уравнение) является моделью некоторого класса подобных явлений. Эти явления могут иметь одинаковую или разную физическую природу. Главное при этом, что все они описываются совершенно тождественными системами уравнений. С этим мы встречались при моделировании задач, описываемых уравнениями Пуассона, Лапласа, Фурье, Гука.

Здесь х — матрица-столбец перемещений х( (хг,. . ., х6); Р— матрица-столбец возмущающих сил; К — матрица жесткостей. Широко распространенной задачей при проектировании систем, описываемых уравнениями (1), является следующая: подобрать такие значения масс и жесткостей системы, чтобы собственные частоты 0i, определяемые значениями этих параметров, не принадлежали заданному частотному интервалу (в более сложном случае — нескольким интервалам) [1]. С ростом числа степеней свободы п отмеченная выше задача в зависимости от ширины заданного частотного интервала [со*, ш**] может стать.практически нереализуемой и тогда эта задача трансформируется в следующую: подобрать такие сочетания значений масс и жесткостей, чтобы амплитуды колебаний х{ масс на частотах ш0{ были минимальными. Во многих случаях исследования линейно-упругих систем оказывается необходимым отыскание значений собственных частот и>0,..

На рис. 89, а—д показаны все возможные характерные случаи взаимного расположения прямых, описываемых уравнениями (50.9), а также отмечены значения Axk, которые следует принимать в каждом из этих случаев.

Уменьшение коэффициента К для газовой смеси азот — кислород и гелий — кислород—пары воды для температуры «800° С {Са = 1,1 л/мин) обусловлено присутствием азота и водорода в газовой фазе (см. рис. 5.10). В этом случае азот и водород являются ингибиторами реакции окисления графита. Действительно, наличие 0,22 об.% О2 в азоте (рис. 5.13) приводит к возникновению реакции, которая идет тем быстрее (и раньше заканчивается), чем ч^ выше температура окружаю- *? щей среды. Ход реакций, описываемых уравнениями (5.6) и (5.7), при температуре 810 и 770° С соответственно указывает на то, что с образованием молекулы СО2 под действием облучения идет ее разложение. Освободившийся кислород захватывается азотом, образуя в основном ингибитор реакции NO2 {69]. 15 образовании NO и NO2 основную роль играют ионные Рис- 5ЛЗ- Изменение концентрации процессы [124}. Поэтому гра- , . С°2 во вРемени-

Рассмотрим теперь два простых гармонических движения (фиг. 1.4), описываемых уравнениями

Отсутствие аналитических решений для нелинейных задач статики и динамики конструкций АЭУ, описываемых уравнениями (3.40)-(3.50), обусловили широкое использование численных методов, ориентированных на применение современных ЭВМ, и главным образом метода конечных элементов (МКЭ). Многочисленные задачи, возникающие в процессе проектирования АЭС, начиная от физики реакторов, гидродинамики и теплообмена и до разнообразных задач динамики конструкций, исследования их прочности и разрушения с учетом взаимодействия с физическими полями различной природы, решаются в настоящее время этим методом [45]. Однако наибольшее применение МКЭ получил в уточненных расчетах напряженных состояний, возникающих в элементах конструкции АЭУ при эксплуатационных, аварийных и сейсмических воздействиях.

Семейство кривых, описываемых уравнениями (6) и (8), представляет собой геометрические места точек шарнира С во внешнем мертвом положении механизма.

Рис. 4.1. Схема набора кинетических кривых, описываемых уравнением (4.9), с двумя огибающими (1) и (2), которые характеризуют предельные (максимальные) величины скорости роста усталостных трещин по левой границе и минимальные скорости по правой границе рассеивания кинетических кривых

Расчет слоистых ортотропных мембран подробно рассмотрен в работе Дитца [22], где показано, что несмотря на отсутствие изгибной жесткости, сохраняется четвертый порядок разрешающей системы уравнений (в отличие от однородных мембран, описываемых уравнением второго порядка).

1. Моделирование явлений, описываемых уравнением Пуассона

2. Моделирование физических полей, описываемых уравнением Лапласа

Поскольку из приведенных рисунков понятна основная идея метода, нет смысла останавливаться на подробностях ее практической реализации. Заметим, что для решения инженерных задач, описываемых уравнением Лапласа, успешно использовалась мембранная аналогия. Таким способом решались задачи о кручении стержней и задачи теплопроводности для систем, не выделяющих тепло.

3. Моделирование физических явлений, описываемых уравнением Фурье

С помощью этого прибора могут решаться уравнения диффузии, фильтрации и других явлений, описываемых уравнением Фурье.

1. Моделирование явлений, описываемых уравнением Пуассона 79

2. Моделирование физических полей, описываемых уравнением Лапласа......................... 90

3. Моделирование физических явлений, описываемых уравнением Фурье.......................... 99

В работе [81 ] выведено обобщенное уравнение ФПК для процессов, описываемых уравнением типа (3.40):