Описываемой дифференциальным

За основу создаваемых методов расчета ремней на долговечность принята кривая усталости (см. рис. 2.111), описываемая уравнением

Если уравнение / (х) = 0 не имеет действительных корней, то динамическая система, описываемая уравнением (6.1), состояний равновесия не имеет. Следовательно, dx/dt все время сохраняет знак, и функция х (t) или монотонно возрастает или монотонно убывает.

Для случая т*,/ = 0 полиномиальная поверхность, описываемая уравнением (4.32), вырождается в кривую

a0 — начальный размер трещины. Таким образом, сг0 есть критическое напряжение для упругого тела с податливостью DO и трещиной размером а0. Зависимость, описываемая уравнением (5.48), показана на рис. 5.9 для случая т = 0,5. Если не отбрасывать в знаменателе отношение коэффициентов интенсивности напряжений, решение будет содержать неполную бета-функцию. Исключение составляет случай, когда т =0,5 [25, ч. III]; при этом решение имеет вид

Кривая, описываемая уравнением (4.3.7), при большом числе циклов асимптотически приближается к величине деформации предела усталости материала.

Таким образом, в зависимости от толщины исследуемого слоя и метода определения величины пластической деформации прямая, описываемая уравнением (3.3), будет перемещаться параллельно самой себе.

На рис. 1.20, б в координатах Plt P2 изображена гипербола, описываемая уравнением (1.35). Ближайшая к началу координат ветвь гиперболы, показанная сплошной линией, является границей области устойчивости в данной задаче. Следуя намеченному в предыдущем параграфе пути, можно доказать, что все точки плоскости, лежащие слева от этой ветви, соответствуют устойчивому вертикальному положению стержневой системы, а точки, лежащие справа, — неустойчивому вертикальному положению. В данной задаче (как и в предыдущей) граница принадлежит области устойчивости.

В заключение параграфа отметим, что модель, описываемая уравнением (5.36) вместе с соотношениями (5.40) и (5.41), является лучшей среди возможных двухволновых моделей по дисперсионным свойствам. Введение большего числа корректирующих коэффициентов или введение двух коэффициентов другим способом неизбежно ведет к искажению низкочастотной дисперсии и поэтому не может считаться оправданным. Примечательно также то обстоятельство, что переход от модели Тимошенко к улучшенной модели можно сделать путем замены в выражениях (5.32) угла поворота ф углом поворота pty, т. е. путем замены определения среднего угла сечения стержня в теории Тимошенко.

3. Линеаризация уравнений движения. Рассмотрим метод ли« неаризащш уравнений движения механизмов с нелинейными функциями положения, основанный на предположении о близости законов движения механизмов с упругими звеньями к законам движения жестких механизмов. Пусть первоначально для механической системы, изображенной на рис. 19, была выбрана динамическая модель с жесткими звеньями, описываемая уравнением (3.35). Присоединяя к этому уравнению характеристику двигателя, получим (для неуправляемой машины) полную систему уравнений движения машины. Предположим, что нам удалось определить некоторое решение этой системы уравнений, определяемое функциями времени qa(t), M№(t). Примем qn(t) за программное движение, a MRn(t) — за программный закон изменения движущего момента. Отклонения от программного движения, вызванные податливостью звеньев механизма, будем рассматривать как динамические ошибки. Ищем решение системы уравнений (3.40) в виде

Пусть надо определить продолжительность запуска машины с двигателем, характеристика которого, описываемая уравнением (1. 27), показана на рис. 1. 3. Статический момент сопротивления на рабочем органе примем постоянным и равным Мр. Тогда этот момент, приведенный к оси двигателя,

Рассмотрена симметричная система, описываемая уравнением движения

В § 1 было показано, что динамической системе, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями (4.1), можно сопоставить некоторое точечное отображение Т при помощи отрезка без контакта в случае двумерного фазового пространства или при помощи секущей поверхности в случае трехмерного пространства. В этом параграфе мы рассмотрим еще один тип точечного отображения, называемого отображением сдвига. По определению, отображением сдвига 7\ динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями вида

На примере системы управления, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, видно, что ошибки на контуре выражаются трансцендентными уравнениями относительно параметров системы. Более того, при повышении порядка дифференциального уравнения, описывающего динамику системы, уравнения ошибок, выраженные в явном виде через параметры системы, можно получить лишь для нескольких частных случаев. Поэтому для расчета реальных систем

Для собственных колебаний линейной системы без сопротивления, описываемой дифференциальным уравнением (9), уравнения фазовых кривых имеют вид

Отыскание движения системы, описываемой дифференциальными уравнениями (20) в случае, когда все упругие связи линейные, т. е. , согласно условию (21), s,- (ф, — <р 1_г) = ut (ф,- — ф г_х) = 0 намного упрощается. В этом случае в Fz [см. уравнение (25)] слагаемое

баланса (гармонической линеаризацией), так и точными способами, к которым относится метод фазовой плоскости. Метод фазовой плоскости может быть применен для исследования устойчивости любой нелинейной системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка. Для исследования уравнений более высокого порядка требуется многомерное фазовое пространство. Эти исследования сопряжены с большими математическими трудностями. К числу таких исследований относятся решение задачи Вышнеградского с учетом сухого трения в регуляторе, проведенное А. А. Андроновым и А. Г. Майером [2]. Однако, строго говоря, это решение не применимо к задаче устойчивости гидравлического следящего привода при учете кулонового трения в направляющих из-за различия в уравнениях и в начальных условиях. В связи с этим Б. Л. Коробочкиным и А. И. Левиным [54] была рассмотрена задача устойчивости гидравлического 66

Кроме основных колебаний с частотой возбуждения со и супергармонических колебаний, в системах с нелинейной восстанавливающей силой при гармоническом возбуждении могут также одновременно происходить субгармонические колебания с частотами со/л (п — целое число). Субгармонические колебания могут возникать при относительно больших частотах возбуждения, причем их амплитуда может быть большой и превосходить амплитуду первой гармоники. На рис. 7 показаны зависимости амплитуд Л] и Л^3 от частоты возбуждения для системы, описываемой дифференциальным уравнением

Примеры сведения к интегральным уравнениям Водьтерра и Фредгольма. Известна эквивалентность решения задачи Коши, описываемой дифференциальным уравнением

Система с вязким или сухим треиием без позиционной силы (простейшая модель процесса виброперемещения). Некоторые важные закономерности действия вибрации на диссипативные механические системы можно выяснить при рассмотрении системы с одной степенью свободы, описываемой дифференциальным уравнением, которое приведено в п. 7 таблицы. В этом уравнении величины от и т^ имеют смысл масс, = (ы?) — заданная 2я-периодическая функция wt; Т — некоторая постоянная сила; F (х)—сила сопротивления, зависящая от скорости. Указанное уравнение описывает, например, относительное движение тела массы т по плоскости, совершающей периодические колебания по закону = ? (att) при действии постоянной силы Т и силы сопротивления F (х); в этом случае щ = т. То же уравнение при mlt вообще говоря, отличном от от, описывает движение тела, находящегося на неподвижной

Пример 1. Для функции w(x) одномерной краевой задачи, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка (2«=2), построить интерполирующий полином для е-го конечного элемента (уравнением такого типа описываются некоторые задачи растяжения и кручения стержней).

Пример 2. Для функции w(x) одномерной краевой задачи, описываемой дифференциальным уравнением четвертого порядка (2ти=4), построить интерполирующий полином для конечного элемента. К этому классу задач относится задача изгиба балок.

Пример 3. Для функции Щ,т) двухмерной задачи, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка (2ти=2), построить интерполирующий полином для прямоугольника, изображенного на рис. 1.5.6.

Пример 4. Для функции и?(?, г\, О трехмерной краевой задачи, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка (2/п=2), построить интерполирующий полином для прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 1.5.8).