Описывающие поведение

Для того чтобы полностью описать движение тела в пространстве, надо к этим трем уравнениям, определяющим движение центра инерции, добавить уравнения, описывающие изменение во времени обобщенных координат, характеризующих движение тела вокруг центра инерции. Выбор этих обобщенных координат и способы записи уравнений для них будут подробно рассмотрены ниже. Эти уравнения вместе с уравнениями для движения центра инерции и составляют систему дифференциальных уравнений, описывающих движение твердого тела.

Если эйлеровы углы ф, if, 6 известны как функции времени, то равенства (53) позволяют немедленно определить, как меняются во времени р, q и г. Если же, наоборот, известно, как меняются во времени р, q, r, то равенства (53) представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно эйлеровых углов ф, г>, 6. Поэтому если мы получим уравнения, описывающие изменение во времени вспомогательных переменных р, q, г, то такие уравнения совместно с уравнениями (53) полностью спишут изменение во времени эйлеровых углов. Именно вывод таких уравнений и составляет цель следующего параграфа.

Уравнения, описывающие изменение фазы и энергии, выведены с учетом изменения магнитного поля и частоты во времени, а также с учетом ускорения за счет «бетатронного эффекта» (быстроты изменения потока), изменения этого ускорения при изменениях радиуса орбиты в процессе колебаний и, наконец, потерь энергии на ионизацию и излучение. Было принято, что период колебаний фазы велик по сравнению с периодом движения по орбите. Для заряда частицы был принят заряд электрона. Уравнение (1) определяет равновесную энергию; уравнение (2) определяет мгновенную энергию через равновесное значение и изменение фазы; уравнение (3) является «уравнением движения» для фазы. Уравнение (4) определяет радиус орбиты:

4. Как получить уравнения, описывающие изменение координаты положения толкателя во времени?

3. Законы состояния.. Как физические законы, так и полученные на их основе частные зависимости, описывающие изменение свойств и состояния материалов, можно разделить на две основные группы (рис. 12).

описывающие изменение физических параметров в зависимости" от температуры1.

Келли и Дэвис [9], а также Стауэлл и Лю [20] вывели уравнения для зависимости прочности композита от направления на-гружения, основанные на трех механизмах разрушения. Ниже приведены эти уравнения, описывающие изменение прочности композита 0К с изменением угла между направлением нагружения и осью волокна 6, и указаны соответствующие типы разрушения; при растяжении.

где ia (?) ,ie (i) — функции, описывающие изменение во времени эмиссии с единичных поверхностей а- и [5-фаз, соответственно;

Кривые, описывающие изменение ширины рентгеновских линий при старении стали ОХ18Н10Ш, хорошо коррелируются с кривыми изменения микротвердости. В образцах, подвергнутых после закалки пластической деформации с различной скоростью, в первые часы старения при 650° С наблюдается некоторое уменьшение полуширины рентгеновских линий, связанное с действием повышенной температуры. В течение второго часа старения микро* напряжения увеличиваются, что, по-видимому, связано с перераспределением атомов углерода и азота на дислокациях.

Каждой из них соответствует свое значение среднего квадратичного коэффициента интенсивности напряжений. Обобщая далее закон П. Пэриса (или какой-либо другой) на рассматриваемый случай, приведем четыре уравнения, описывающие изменение не только размеров трещины, но и ее формы.

В подпрограмме Б—II решаются совместно дифференциальные и алгебраические уравнения, описывающие изменение параметров газа вдоль оси г. Если течение рассчитывается от равновесного начального состояния, то исходные данные подаются на вход подпрограммы Б — I, если же исследуется течение от неравновесного состояния,— непосредственно на вход подпрограммы Б—II.

Однако, при нагружении конструкций из малоуглеродистых, низко- и среднелегированных сталей, содержащих плоскостные дефекты, имеет место, как правило, развитое пластическое течение в вершине данных концентраторов (зона АВ на рис. 3.2). В общем случае это снижает опасность хрупких разрушений, так как часть энергии нагружения расходуется на образование пластических зон. В данных зонах напряжения и деформации уже не контролируются величиной коэффициентов интенсивности напряжений, а определяются из соотношений теории пластичности. Для некоторого упрощения описания процесса разрушения в механике разрушения вводят критерии, описывающие поведение материала за пределом упругости: 5С— критическое раскрытие трещины и Jc — критическое значение независящего от контура интегрирования некоторого интеграла. Деформационный критерий 6С основан на раскрытии берегов трещины до некоторых постоянных критических значений для рассматриваемого материала. На основе контурного Jp-интеграла представляется возможность оценить момент разрушения конструкций с трещинами в упруго-пластической стадии нагружения посредством определения энергии, необходимой для начала процесса разрушения. При этом полагается, что критическое значение энергетического параметра, предшествующее разрушению, является характеристикой материала. Существуют также и другие характеристики разрушения, которые не получили широкого распространения на практике. Например, сопротивление микросколу (Rc), сопротивление отрыву, угол раскрытия вершины трещины, двухпараметрический критерий разрушения Морозова Е. М. и др.

Теоретическое изучение свойств вещества в газообразном состоянии с учетом сил сцепления между молекулами и объема самих молекул весьма затруднено вследствие слабой изученности природы этих сил. Найденные на основе эксперимента математические зависимости, описывающие поведение таких газов, имеют сложный характер. Поэтому при изучении вещества в газообразном состоянии прежде всего мы займемся изучением такого воображаемого газа, у которого совсем нет сил сцепления между молекулами, а сами молекулы представляют собой материальные точки, не имеющие объема. Такой газ назван идеальным газом.

— описывающие поведение

Однако, при нагружении конструкций из малоуглеродистых, низко- и среднелегированных сталей, содержащих плоскостные дефекты, имеет место, как правило, развитое пластическое течение в вершине данных концентраторов (зона АВ на рис. 3.2). В общем случае это снижает опасность хрупких разрушений, так как часть энергии нагружения расходуется на образование пластических зон. В данных зонах напряжения и деформации уже не контролируются величиной коэффициентов интенсивности напряжений, а определяются из соотношений теории пластичности. Для некоторого упрощения описания процесса разрушения в механике разрушения вводят критерии, описывающие поведение материала за пределом упругости: 5С—критическое раскрытие трещины и Jc— критическое значение независящего от контура интегрирования некоторого интеграла. Деформационный критерий 5соснованна раскрытии берегов трещины до некоторых постоянных критических значений для рассматриваемого материала. На основе контурного ^-интеграла представляется возможность оценить момент разрушения конструкций с трещинами в упруго-пластической стадии нагружения посредством определения энергии, необходимой для начала процесса разрушения. При этом полагается, что критическое значение энергетического параметра, предшествующее разрушению, является характеристикой материала. Существуют также и другие характеристики разрушения, которые не получили широкого распространения на практике. Например, сопротивление микросколу (Rc), сопротивление отрыву, угол раскрытия вершины трещины, двухпараметрический критерий разрушения Морозова Е. М. и др.

этому, можно просто считать, что коэффициент ат, входящий в уравнения (40), зависит, помимо всего прочего, и от мгновенной концентрации агента набухания, а также включить в эти уравнения дополнительные слагаемые, характеризующие расширение и аналогичные содержащим ДГ членам в уравнениях (63) и (64). Подобным образом можно (в случае необходимости) обобщить уравнения, описывающие поведение термореологически сложных материалов (например, уравнения (66) и (67)), считая, что свойства материала зависят не только от температуры, но и от концентрации агента набухания.

В разд. III, наибольшем по объему из всех разделов этой главы, изучаются задачи о плоской конечной деформации. Здесь поясняются некоторые подробности методов решения. Краевые задачи в перемещениях можно решать чисто кинематически, не пользуясь ни развернутыми гипотезами относительно связи напряжений с деформациями, ни даже уравнениями равновесия. В краевых задачах в напряжениях и в смешанных краевых задачах необходимо постулировать определенные зависимости, описывающие поведение материала под действием касательных напряжений. Для простоты мы ограничимся исследованием упругого сдвига или квазиупругого поведения пластических или вязкоупругих материалов. Основы теории разд. III заимствованы из работы Пипкина и Роджерса [26].

Под воздействием внешних сил, приложенных к телу, в нем может происходить развитие трещин, в том числе весьма значительное, вследствие чего проблема трещин принципиально отличается от классической проблемы теории упругости (см. главу IX), в которой граница тела сохраняется неизменной с точностью до упругого смещения ее точек. Вследствие отмеченного изменения границ тела в проблеме теории трещин задача становится весьма сложной нелинейной (задача с неизвестными границами) и не разрешимой обычными методами теории упругости. Однако дело не только в изменении границ, с которым необходимо считаться и, мало того, находить это изменение. Сложность состоит в том, что в теории трещин приходится использовать дополнительные (по сравнению с обычной теорией упругости) схемы, описывающие поведение материала в области контура трещины. В теорию в какой-то мере вносится элемент физики, однако пока не в полном смысле этого слова. Постановка задачи может быть сформулирована так.

Для получения линеаризованных уравнений, описывающих потерю устойчивости цилиндрической оболочки, выведем линейные уравнения, описывающие поведение произвольно нагруженной оболочки при малых перемещениях.

Уравнения, описывающие поведение рассматриваемой системы в независимых обобщенных координатах фъ яа представим в виде

Вынужденными колебаниями схематизированной механической системы называют процессы, описывающие поведение этой системы 4 при действии на нее внешних сил, являющихся заданными функциями времени. При схематизации механической системы в виде линеаризованной неконсервативной динамической модели исследование ее вынужденных колебаний заключается в отыскании общих решений неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений:

записать формулы, описывающие поведение системы в целом: