Описывающих колебания

Эти два уравнения задают параметрическое представление кривой f(a). Кривая f(a) характеризует меры, описывающие распределение популяции и эквивалента последовательности показателей массы i(q). Пара уравнений (2.41) задает преобразование Лежандра от независимых переменных т и q к независимым переменным f и а.

Для нахождения исследуемых величин оригиналов изображений используем таблицу изображений функций. В результате получим следующие формулы, описывающие распределение температуры в тонкой и массивной частях отливки:

Эти два уравнения задают параметрическое представление кривой f(a). Кривая f(a) характеризует меры, описывающие распределение популяции и эквивалента последовательности показателей массы t(q). Пара уравнений (2.41) задает преобразование Яежандра от независимых переменных т и q к независимым переменным f и а.

Поперечные изгибающие нагрузки приводят к возникновению значительных межслоевых сдвиговых напряжений и поэтому также могут играть важную роль. Величина сдвиговых напряжений зависит от величины и расположения области расслаивания, а также от укладки слоев. Эта задача частично решена: для двух полубесконечных сред (рис. 29) и слоистой среды (рис. 30) получены аналитические решения, описывающие распределение напря-

Вином и Рэлеем и Джинсом были получены формулы, описывающие распределение энергии излучения абсолютно черного тела в коротковолновой и длинноволновой областях спектра. Специфическая особенность этих формул состоит в том, что температура входит во все спектральные формулы не самостоятельно, а всегда в комплексе с частотой v в виде отношения -=г- .

Вероятность безотказного функционирования можно представить как функцию трех аргументов: минимального времени Z;3 выполнения задания, оперативного времени t и совокупности w технических характеристик системы, в том числе и временных, которые определяют условия использования и пополнения резерва времени. В w могут входить значения пополняемого резерва времени, запас производительности отдельных устройств, емкость накопителей, коэффициенты, описывающие распределение общего задания между каналами в многоканальной системе, и прочее. Если вместо оперативного времени t задавать резервное время /ш то вероятность безотказного функционирования выражает-ется уже другой функцией P(t-6, 11Ъ w) , которая получается из P\(t3, t, w} заменой t на 4 + 4, т. е. P(t3, tR, w)=Pi(ta, ta+ta, w). Зная функцию P(t3, /и, ш), легко найти выражения и для некоторых других характеристик надежности.

где X — радиус-вектор, определяющий положение точек пространства, занимаемого периодом системы (в сходственных системах координат, каждая из которых связана со своим периодом); ^т л (Х)> 4m n (х) — вектор-функции, описывающие (распределение амплитуд . перемещений точек периода (от номера периода они не зависят и .принимают конкретный вид для той или иной системы при определенных т и п) .

Известно много формул для определения величины сил трения. Те из них, которые применяют в теории обработки металлов давлением, могут быть разбиты на три группы: 1) содержащие в качестве независимой переменной (аргумента) какой-либо физический фактор (нормальное давление, предел текучести деформируемого металла, вязкость смазки и др.); 2) описывающие распределение сил трения в зоне контакта, причем одним из аргументов они включают чисто геометрический параметр, т. е. координату точки контактной поверхности; 3) определяющие среднюю удельную силу трения в очаге деформации.

где EJ, GJfc , GA, EJ& - жесткости на изгиб, кручение, сдвиг и секториальная жесткость; / -длина балки; т и ц - масса и момент инерции единицы длины стержня; и - частота колебаний. В этом случае дифференциальные уравнения малых колебаний, описывающие распределение прогибов w(y,f) и углов закручивания S(j,/), имеют вид [4, 64]

Решение задачи о распределении напряжений около малого эллиптического отверстия в широкой пластине при растяжении было получено Инглисом [5] в 1913 г. Оно показано на рис. 12.9. Полученные соотношения, описывающие распределение напряжений, достаточно сложны. Для эллиптического отверстия, большая ось которого направлена вдоль оси к, в тонкой пластине, растяну-

В работе [112] получены уравнения, описывающие распределение напряжений и деформаций около вершины трещины в зависимости •от 0, г (рис. 4) и коэффициента деформационного упрочнения т'

Как мы уже говорили, решение данной задачи для малой окрестности любой точки гладкого фронта (рис. 42) можно считать не зависящим от координаты z, отсчитываемой вдоль фронта трещины (рис. 46). Самый общий случай полей деформаций и напряжений у кончина трещины можно получить путем взаимного наложения напряжений следующих частных видов плоской и антиплоской деформаций (рис. 47). Вид 1 связан с отрывным смещением, при котором поверхности трещины прямо расходятся одна от другой во взаимно противоположных направлениях (так происходит при забивании клина). Вид П соответствует перемещениям, при которых поверхности трещины скользят друг по другу (так, например, снимает стружку резец токарного станка). Вид /// связан с антиплоской деформацией (разрезание ножницами), при которой одна поверхность скользит по другой параллельно фронту трещины. Решения этих задач, очень сложные в математическом отношении, были получены-в пятидесятые годы. Оказалось, что для любых задач теорий упругости поля напряжений и смещений вблизи вершины трещины имеют почти одинаковую структуру. Первыми поняли это английские ученые Дж. Ирвин и М. Вильяме, хотя строгое доказательство общности формул было дано позже. Сейчас мы приведем все формулы, описывающие распределение напряжений и смещений, прпчем многоточия в них ставятся вместо слагаемых, которые пренебрежимо малы по сравнению с выписанными. Мы приводим эти довольно громоздкие выражения совсем не для того, чтобы лишний раз вызвать трепет перед механикой разрушения. Наша задача — обратить внимание на некоторые их общие свойства и постараться сделать для себя поучительные выводы. Все

1. Предварительные замечания. В настоящем параграфе излагаются спосббы получения дифференциальных уравнений, описывающих колебания механических систем (эти же уравнения справедливы и применительно к немеханическим колебаниям). Сначала, в разделе 2, обсуждается классический путь получения уравнений колебаний систем из уравнений Лагранжа второго рода. Далее показываются два способа вывода дифференциальных уравнений колебаний систем, называемые иногда прямым и обратным способами.

Рассматривается задача оценки параметров линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих колебания механических систем, в условиях проведения наиболее чистого (модельного) эксперимента [1—4]. Параметры оцениваются с помощью процедур' метода динамических испытаний [3—4].

Рассматриваются вопросы оценки качества (точности) моделирования линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих колебания механических систем, при постановке и решении этих уравнений на аналоговых вычислительных машинах. Точность моделирования оценивается с использованием процедур метода динамических испытаний [1].

В связи с описанными особенностями решения задач на АВМ нами проведен цикл исследований, позволивших оценить качество моделирования одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих колебания механических систем.

Рассматриваются вопросы оценки качества (точности) моделирования на АВМ линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих колебания механических систем.

Поэтому, казалось бы, естественно поставить задачу виброакустической диагностики прямозубой передачи как задачу разделения виброакустического сигнала на ряд компонент, обусловленных различными факторами,, каждый из которых является самостоятельным источником виброакустической активности. Конечно, такое разделение без всяких оговорок возможно-лишь в том случае, когда зубчатая передача может рассматриваться как линейная механическая система с постоянными параметрами [6—8]. При этом различным факторам, обусловливающим виброакустичность, соответствуют различные по структуре правые части системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающих колебания передачи. Однако если необходимо учесть периодическое изменение жесткости зацепления в процессе пересопряжения зубьев (чередование интервалов однопарного и двупарного зацепления), то математическая модель передачи описывается системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [9—12]. Здесь уже принцип суперпозиции действует только при условии, что жесткость зацепления как функция времени не зависит от вида правых частей уравнений. Даже при этом условии можно разделить те факторы возбуждения вибраций, которые определяют правые части системы уравнений при известном законе изменения жесткости, но нельзя выделить составляющую виброакустического сигнала, обусловленную переменной жесткостью зацепления. Наконец, учет нелинейностей приводит к принципиальной невозможности непосредственного разложения виброакустического сигнала на сумму составляющих, порожденных различными факторами. Тем не менее оценить влияние каждого из этих факторов на виброакустический сигнал и выделить основные причины интенсивной вибрации можно и в нелинейной системе. Для этого следует подробно изучить поведение характеристик виброакустического сигнала при изменении каждого из порождающих вибрации факторов, причем для более полного описания каж-

Однако возможности аналоговых электронно-вычислительных машин используются е.ще недостаточно при решении дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, описывающих колебания систем с переменными и управляемыми параметрами.

В научной литературе встречается много приближенных уравнений, описывающих колебания вырожденных систем [8, 22, 23, 30], которые основаны на тех или иных предпосылках физического характера о поведении продольных и поперечных усилий по сечению в вырожденной системе и других механических величин. Затем появились различные уточнения классических уравнений колебаний, зачастую не согласующиеся между собой. В последние годы для вывода приближенных уравнений колебаний вырожденных систем стали применяться математические подходы, основанные на приближенном решении точной трехмерной задачи теории упругости или вязкоупругости с заданными начальными и граничными условиями, характеризующими как геометрию вырожденной системы, так и условия закрепления границ этих систем [22, 23, 43]. Однако каким бы из подходов не пользоваться, всегда должно выполняться очевидное условие — приближенные дифференциальные или инте-гродифференциальные уравнения колебаний должны принадлежать к уравнениям гиперболического типа [8].

Для анализа механических и электромеханических колебательных систем широко пользуются методом электромеханических аналогий [59, 90, 224, 300]. Он основан на сходстве дифференциальных уравнений, описывающих колебания электрических и механических систем. Главное достоинство метода - возможность применения хорошо разработанных способов анализа электрических цепей к расчету механических колебательных систем.

С целью установления зависимости размахов вибрации элементов динамической системы от других ее параметров необходимо проинтегрировать дифференциальные уравнения движения этой системы. Точные и приближенные методы и процедуры интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих колебания, изложены в т. 1 для линейных систем и в т. 2 для нелинейных систем. Проиллюстрируем упомянутую зависимость простыми примерами.

Во многих случаях матрицу В° можно считать диагональной (при силах демпфирования, пропорциональных упругим или инерционным, матрица В°, очевидно, всегда диагональная), поскольку диссипативные связи между собственными тонами достаточно малы. Тогда система уравнений (6) распадается на ряд отдельных независимых уравнений для каждого собственного тона, описывающих колебания системы с одной степенью свободы, элементами которых являются скалярные величины: