Описываются линейными

Вынужденные колебания массы т в одномассной системе описываются дифференциальным уравнением:

где (1 — некоторый параметр, который предполагается достаточно малым. В этом случае мы приходим к дифференциальному уравнению с малым параметром при старшей производной. Фазовая плоскость при ц -*- 0 разбивается на две области: область быстрых движений и область медленных движений (см. гл. 6). Медленные движения описываются дифференциальным уравнением первого порядка F! (q, q) = 0. Разрешая это уравнение относительно q, (что, впрочем, не является существенным), получаем дифференциальное уравнение вида (2.1).

Механическая колебательная система, колебания которой описываются дифференциальными уравнениями и граничными

Вынужденные колебания массы m в одномассной системе описываются дифференциальным уравнением:

Уравнение (10.19) не учитывает электромагнитных процессов, происходящих в электродвигателе, а, как известно, в теории электродвигателей они описываются дифференциальным уравнением, связывающим напряжение электрической сети, электродвижущие силы ротора и возбуждения, силы тока в цепях электродвигателя. Электромагнитные явления оказывают влияние на момент, развиваемый двигателем, и для двигателя постоянного тока с параллельным возбуждением этот момент можно представить в виде следующей зависимости:

Решение. Колебания рассматриваемой балки описываются дифференциальным уравнением

4. Метод Бубнова — Галеркина. Если колебания системы описываются дифференциальным уравнением

1. М. Л. Б ы х о в с к и и. Точность механизмов, у которых положение звеньев описываются дифференциальными уравнениями.— Изв. АН СССР, ОТН, 1947, № 11.

Рассмотрим зубчатое колесо k с валом на двух подшипниковых опорах (рис. 35, а). Поступательные движения зубчатого колеса k при отсутствии трений описываются дифференциальными уравнениями:

Предположим, что при вращении вала с неуравновешенным диском возникающие на опоре реакции меньше силы предварительного натяга U0. В этом случае опоры являются абсолютно жесткими, а колебания диска описываются дифференциальным уравнением

Вынужденные колебания систем с распределенными параметрами описываются дифференциальным уравнением

с тем, что рассматриваемое обобщение для нелинейных систем достигается путем линейного представления на каждом шаге интегрирования уравнений нелинейных звеньев (кусочная линеаризация). При использовании этого представления системы в целом на каждом шаге описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Так же описываются и нестационарные системы при замораживании на каждом шаге коэффициентов уравнений.

Связи между скоростями вращения звеньев дифференциальных механизмов описываются линейными уравнениями вида (3.1) и (3.4) и поэтому для нахождения скоростей можно использовать ту общую методику решения систем уравнения, которая была описана в п. 3.2. Однако благодаря стандартному виду уравнений (3.1) и (3.4) использование графовых моделей упрощается. Более того, графовый подход позволяет находить скорости вращения звеньев непосредственно по кодам механизма, не используя при этом в явном виде ни системы уравнений, ни ее матрицы (в отличие, например, от матрично-кодового метода для которого преобразование матрицы уравнений является существенно важной операцией).

Вблизи оптимальных по к. п. д. режимов работы числовые значения коэффициентов потерь меняются столь незначительно, что аналитические выражения потерь описываются линейными уравнениями и вся область работы гидромашины, в которой возможно использование таких линейных выражений, называется квазилинейной и подлежит рассмотрению.

Динамические свойства механизмов управления насосами переменной производительности при малых амплитудах входного сигнала и наличии осцилляции с достаточной точностью описываются линейными дифференциальными уравнениями. При больших амплитудах входного сигнала начинает проявляться влияние ограничения производительности источника питания.

Таким образом, переходные процессы в системах непрямого регулирования с жесткий кинематической или силовой обратной связью описываются линейными дифференциальными уравнениями четвертого порядка.

Как известно, решение (618) дает свободный переходный процесс исследуемой системы после вывода ее из состояния равновесия. Под свободным понимается такой переходный процесс, когда возмущающее воздействие является лишь причиной появления переходного процесса и не влияет на систему в период самого переходного процесса. Такие процессы описываются линейными однородными дифференциальными уравнениями (без правой части). Характер переходного процесса в этом случае полностью определяется параметрами элементов, входящих в систему, а количественные соотношения — начальными условиями движения. Решение (620) дает вынужденный переходный процесс под влиянием постоянно действующих возмущений в виде

Во многих случаях анализ устойчивости «в малом» дает практи' чески верный ответ и об устойчивости «в большом». Это справедливо, например, в том случае, когда процессы системы точно описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В других случаях система, устойчивая «в малом», может оказаться неустойчивой «в большом».

При исследовании устойчивости систем, процессы которых описываются линейными дифференциальными уравнениями третьего и выше порядков, к соотношениям коэффициентов уравнений предъявляются условия, вытекающие из определителя Гурвица (671).

При исследовании устойчивости систем, процессы которых описываются линейными дифференциальными уравнениями восьмого и девятого порядка, уравнения (754) и (755) становятся уравнениями четвертой степени относительно ш2. Корни таких уравнений можно также определить при помощи диаграммы (см. фиг. 293), так как

Переходные процессы в динамике cpi по всем узлам установки хорошо описываются линейными дифференциальными уравнениями высокой степени, соответствующей числу элементов узла.

Ограничимся рассмотрением таких свободных колебаний, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Для того чтобы уравнения движения были линейными, необходимо, чтобы отклонения системы от положения равновесия были достаточно малы (что обеспечивается малостью начальных возмущений). Кроме того, система должна быть такова, чтобы уравнения движения допускали линеаризацию в окрестности положения равновесия. Последнее условие накладывает ограничения на структуру системы, тип связей и свойства действующих сил.