Ортогональных направлениях

Как уже указывалось, векторная форма записи уравнений равновесия или движения стержня инвариантна по отношению к координатным системам, однако при численных методах решения уравнений всегда переходят к скалярной форме записи уравнений, которая зависит от выбранной конкретной системы координат. От удачного выбора координатной системы существенно зависит эффективность решения задачи. Основное отличие ортогональных прямолинейных координатных осей с базисом {!/} от ортогональных криволинейных с базисом {е,} (рис. П.4) заключается в том, что базисные векторы i;- не зависят

Дифференциальные уравнения движения в ортогональных криволинейных координатах приводятся в курсах теории упругости. В результате интегрирования этих уравнений по толщине оболочки с учетом равенств (2) и (4) можно получить следующие уравнения движения, описывающие как слоистые, так и однородные оболочки [163]: '.'.'••

Квадрат элемента длины ds2 в ортогональных криволинейных координатах (?i> ?2> 1з) выражается формулой Гаусса

Основные операции теории поля в ортогональных криволинейных координатах вычисляются по формулам

Выбранную систему ортогональных криволинейных

Основные операции теории поля в ортогональных криволинейных координатах вычисляются по формулам:

членов (S и S ') в примыкающих к истинной границе действующих КО. Следует отметить, что метод блокированных КО является в известной степени неэкономичным, так как приходится тратить время и память компьютера на тривиальные расчеты значений зависимых переменных в блокированных КО. Альтернативой этому методу может быть использование ортогональных криволинейных систем координат. Однако, поскольку построение ортогональной криволинейной системы координат для области произвольной геометрической формы само по себе представляет значительную трудность [3], в инженерной практике чаще используется метод блокированных КО.-

1.2.12. Дифференциальные уравнения равновесия объемного элемента в ортогональных криволинейных координатах (А.З.Локшин) . 34

В дальнейшем ограничимся рассмотрением, и использованием лишь ортогональных криволинейных координат, т.е. таких, у которых координатные линии сц, а-2, аз в каждой точке тела пересекаются под прямыми углами. Ортогональные единичные векторы (орты), совпадающие с касательными к координатным линиям, проходящими через точку тела, обозначим через e;(al5 u2, tx3) (F=!, 2, 3). Направления этих

Приведенные выше формулы для определения главных деформаций и сдвигов, главных направлений тензора деформаций и его инвариантов могут быть использованы без каких-либо изменений и в случае ортогональных криволинейных координат.

1.2.12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ОБЪЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [19, 20, 25]

Система п нитей. Композиционные материалы, образованные системой множества нитей, содержат арматуру; уложенную в различных направлениях, чаще всего — в трех взаимно ортогональных направлениях выбранных осей координат и в диагональных плоскостях, содержащих координатные оси (рис. 1.7). Имеются и более сложные схемы армирования (рис. 1.8). Создание материалов с подобными схемами армирования — весьма трудоемкий процесс, содержащий технологические трудности, связанные с созданием каркаса и его пропиткой. Целесообразность изготовления рассматриваемой группы композиционных материалов пока не достаточно обоснована.

Как видно из анализа схем армирования только прямолинейными волокнами, отклонение направлений укладки волокон от однонаправленной и плоской схемы существенно снижает объемный коэффициент армирования материала. При трех взаимно ортогональных направлениях укладки волокон предельный коэффициент армирования [1пр снижается по сравнению со слоистой структурой на 25 %. Заметим, что для последней при любом числе направлений армирования характерно неизменное значение предельного коэффициента армирования япр = 0,785, равное коэффициенту однонаправленного материала с прямоугольной схемой укладки волокон.

Другим, более трудоемким методом определения модулей сдвига является испытание на растяжение или сжатие образцов, вырезанных из одной плоскости в двух ортогональных направлениях и под углом 45° к ним. Для этого на указанных образцах при заданных напряжениях измеряют продольные и поперечные деформации, исходя из которых определяют модули упругости и коэффициенты Пуассона. Модуль сдвига для материалов с общей анизотропией

Варианты расчета упругих характеристик. Рассмотренные ранее приближенные методы расчета упругих характеристик слоя нетрудно распространить на вычисление констант трехмер-ноармированного композиционного материала. Реализацию этих методов можно представить в трех вариантах. Первый вариант по существу является модификацией метода усреднения, где расчет двухмерноармирован-ного в ортогональных направлениях волокнистого материала сводится к расчету однонаправленной структуры с более жесткой анизотропной матрицей. Естественно, что введение третьего ортогонального направления не вносит принципиальных трудностей в расчет констант материала. Основным преимуществом указанного подхода является простота вычисления, однако сведение части арматуры в модифицированное ортотропное связующее позволяет лишь с очень большой погрешностью учитывать кинематическую связь между компонентами материала.

Между рассмотренными вариантами армирования имеется принципиальное различие в их целевом предназначении. Для создаваемых на их основе композиционных материалов проектируется либо повышение жесткости на растяжение, либо улучшение сдвиговых свойств в определенной плоскости, либо их совместное увеличение во всем объеме. Так, у материалов, армированных в трех ортогональных направлениях согласно варианту 1, следует ожидать наибольшие значения модулей упругости в этих направлениях по сравнению со всеми остальными вариантами пространственного армирования. Такое же утверждение относительно модулей сдвига в трех главных плоскостях упругой симметрии следует для композиционного материала, армированного по варианту 3 с шестью направлениями армирования.

Оптимальное сочетание модулей Юнга и сдвига в трех ортогональных направлениях и трех плоскостях следует ожидать в материалах, армированных по варианту 6 с девятью направлениями волокон.

Геометрические соотношения. При определении деформативных характеристик трехмерноармированных композиционных материалов примем в первом приближении вариант элементарного описания модели, изображенной на рис. 5.2. Единичный куб, представляющий модель материала, составлен из различных по упругим свойствам прямоугольных параллелепипедов, относительные размеры которых связаны с геометрией размещения волокон. Реальная структура материала представляется чередующимися пересекающимися тонкими слоями, армированными волокнами. В материале эти слои выделяются, как показано на рис. 5.1, а, б. При нагружении материала нормальными напряжениями вдоль каждой из осей армирования распределение напряжений в плоскости отдельного слоя является кусочно-однородным по сечениям армирующих волокон и смежным им прослойкам связующего. Пересечение слоев в трехмерноармированном материале происходит в трех взаимно ортогональных направлениях. Вследствие этого распределение нормальных напряжений по сечению материала, ортогональному одному из направлений армирования, является кусочно-непрерывным по отдельным малым площадкам сечения трехмерноарми-рованного материала. Число малых площадок, приходящихся на единицу площади сечения трехмерноармиро-ванного материала, равно утроенному числу всех волокон, заключенных в единице объема материала. Суммарная нагрузка, воспринимаемая во-

молинейны. Материалы, изготовленные по строчной схеме, имели существенное искривление волокон в направлениях I и 3, причем волокна, которыми осуществлялась прошивка, искривлены по эллипсу. В качестве арматуры для первых двух типов стеклопластиков было использовано алюмоборосиликатное стекловолокно. Остальные шесть типов материалов изготовляли по двум структурным схемам армирования, приведенным на рис. 5.13, ///, IV. Для схемы / армирования характерно наличие прямолинейных волокон в трех взаимно ортогональных направлениях (см. рис. 5.13, /), для схемы // — волокна направления 3' частично искривлены, а в направлениях 1 и 2 — прямолинейны (см. рис. 5.13, //). Арматурой для этой группы композиционных материалов служили кварцевые, алюмо-боросиликатные, углеродные, кремнеземные и органические волокна. Общее объемное содержание волокон в них было различным. Различие между исследованными материалами состояло также и в соотношении арматуры, уложенной по трем направлениям.

риала 3D образован укладкой волокон в трех ортогональных направлениях. Данные табл. 6.4 не позволяют провести точную количественную оценку влияния свойств волокон и их укладки в плоскости ху на изменение исследованных характеристик материалов, поскольку материалы различались по содержанию арматуры. Кроме того, ткани, использованные для их изготовления, имели различную плотность нитей, а направление исследования свойств в работе [111] не указано.

зуется изменением угла между ортогональными плоскостями, являющимися диагональными сечениями куба. Модуль сдвига G[,2, = 0,16G0 и по значению близок модулю сдвига в главных плоскостях упругой симметрии трехмерноармированного в ортогональных направлениях материала. Остальные два модуля сдвига в системе l'2'З' остаются равными максимальному значению: G\-y = G2,3- = G0.

Остальные коэффициенты связывают нормальные напряжения с нормальными деформациями в ортогональных направлениях. Коэффициенты с одним индексом, меньшим или равным 3, и другим, большим или равным 4, связывают нормальные напряжения с деформациями сдвига, и наоборот. Оставшиеся коэффициенты (оба индекса больше или равны 4) устанавливают соответствие между касательными напряжениями и деформациями сдвига. Аналогичным образом можно интерпретировать и коэффициенты податливости.