Ортогональных полиномов

/~2kt& 4 Косоугольная в двух ортогональных плоскостях 0,680 (а =35,26°)

Косоугольная в двух ортогональных плоскостях с прошивкой

Сдвиговые свойства пространственно-армированного композиционного материала оценивают в двух аспектах. Во-первых, выявляют возможности использования существенно повышенной сдвиговой жесткости трехнаправлен-ного ортогонально-армированного материала в одной из неглавных плоскостей упругой симметрии материала. Поэтому целесообразно ориентировать оси материала в конструкции так, чтобы сдвиговое нагружение происходило в плоскости Г2', повернутой относительно осей 12 на угол 45° вокруг оси 3. При этом в двух других ортогональных к Г2' плоскостях сохраняется плохое сопротивление сдвигу. Во-вторых, оценивают возможность повышения сдвиговых свойств за счет косоугольного равновесного армирования в трех ортогональных плоскостях. В этом случае число направлений армирования становится равным шести и более; коэффициент армирования по сравнению с трех- и четырехнаправленным материалом снижается, что, в свою очередь, не приводит к ожидаемому эффекту повышения сдвиговой жесткости в трех ортогональных плоскостях.

В рассматриваемом подходе модуль упругости композиционного материала в соответствии с (5.7) вычисляется дважды: формально — при перестановке индексов j к k. Это следует из того, что в условиях плоской задачи упругие характеристики материала определяются только в одной плоскости. Ортотропный материал в этой плоскости имеет четыре константы, следовательно, в трех взаимно ортогональных плоскостях по условиям плоской задачи получается 12 независимых констант; три из них— модули упругости — дважды. Однако перестановка параметров \ij и ц^ в широкой области их изменения при вычислении модуля упругости ?; по формуле (5.7) не приводит к существенным различиям в его значении.

слои, толщина которых равна диаметру волокна. Условное выделение тонких слоев осуществляется в трех взаимно ортогональных плоскостях, параллельных направлениям укладки арматуры. Рассмотрим арматуру направления 1 (рис. 5.1; арматура двух других направлений не показана). Выделяя из материала в плоскости 23 полоску, параллельную оси 2, ширина которой равна высоте сечения волокна d(l\ а длина единице, в случае квадратного сечения волокна (см. рис. 5.1, а) получим следующие соотношения для геометрических параметров армированного тонкого слоя:

При одинаковых значениях коэффициентов армирования в трех направлениях упругие свойства материалов во всех трех ортогональных плоскостях весьма близки, что иллюстрируют данные табл. 5.7, 5.8, полученные на различных типах материалов. В табл. 5.8 для сравнения включены также значения модуля упругости углепластика, определенные на образцах, имеющих случайные искривления волокон. Средний угол искривления волокон составлял 11°.

соответствующие трем сдвигам, происходящим независимо один от другого в трех ортогональных плоскостях ху, yz и гх,

Пример 12.4. В круглом поперечном сечении балки, испытывающей поперечный изгиб в двух ортогональных плоскостях Охг и Оуг, определить полное касательное напряжение в точке А, расположенной у контура (рис. 12.34, а). Радиус круга г, поперечные ?илы Qx и Qy (их отношение Qx/Qy = 2) заданы. Применить принцип независимости действия сил.

поперечный изгиб в двух ортогональных плоскостях Охг и Оуг, определить

1. Предварительные замечания. В настоящем параграфе обсуждается теория тонкостенных стержней открытого профиля, в которой одновременно рассматриваются осевая деформация, поперечные изгибы в двух ортогональных плоскостях и кручение. Качественно новым по сравнению с ранее (в предыдущих главах) рассмотренными результатами является учет стеснения деплана-ции. Последний можно было бы выполнить независимо от осевой деформации и изгиба. Однако представляет интерес сам факт одновременного построения теории всех видов деформации, в связи с чем именно такое изложение и принято в настоящем параграфе. К тому же становится ясным, что излагаемая теория тонкостенных стержней является обобщением ранее изложенной теории стержней в случае их тонкостенности (имеются в виду стержни открытого профиля).

6. Векторные колебания. Фигуры Лиссажу. Рассмотрим осциллятор (рис. 17.79, а), масса которого совершает свободные колебания, являющиеся векторной суммой колебаний в двух ортогональных плоскостях. Пусть при этом амплитуды, частоты и начальные фазы этих колебаний различны:

В алгоритмах (3), (4) значения (ф0(а), ф;(а), ф^^ {/го (т, а), /г,- (т, а), Я/;(т)} определяются только видом выбранной модели СФ и весовой функцией и могут рассматриваться, соответственно, как функции преобразования преобразователей и импульсные характеристики линейных фильтров. Это дает возможность рассматривать (3), (4) как алгоритм синтеза соответствующих структурных анализаторов для случая оценки параметра линейной модели СФ в (3) и использования ортогональных полиномов Лагерра в (••!). Блок-схемы алгоритмов представлены на рис. 1, 2.

где z= (a — 6) /5, полученная методом наименьших квадратов с использованием первых пяти ортогональных полиномов Лагранжа. Среднеквадратичное отклонение кривых относительно максимального значения функции составляет 3,4%. Таким образом, квадратичная модель сигнала оказалась вполне достаточной для описания полученной экспериментальной зависимости.

В этом случае совокупность )г\, (я)} представляет собой систему ортогональных полиномов. Функционал Q (Р0, р\, . . ., р„) можно представить в виде

Для образования ортогональных полиномов pt (x) используется рекуррентное соотношение Форсайта [4].

В отношении выбора числа уровней факторов можно указать на следующее. Если есть сведения о линейном характере связи между значениями факторов и изучаемым признаком, то число уровней принимается равным двум. В случае зависимостей второго порядка — трем, т. е. число уровней факторов должно быть на единицу больше предполагаемого порядка зависимости. Для выделения сумм квадратов соответствующих линейным, квадрэтическим и т. д. эффектам факторов обычно используют коэффициенты ортогональных полиномов Чебышева [10, 100].

При таком методе требуется большой объем памяти для хранения и решения системы уравнений. Эти недостатки в основном устраняются при использовании в описании функции PI ортогональных полиномов Чебышева, Лежандра, Форсайта и др. В таком случае коэффициенты аппроксимирующего уравнения вычисляются по рекуррентным формулам. Для вычисления коэффициентов на ЭВМ при произвольных выражениях Pi используются:

Система базисных функций fj(X) должна быть выбрана до проведения эксперимента. Наиболее часто в качестве базисных функций используются: а) полиномы; б) системы ортогональных полиномов того или иного класса; в) тригонометрические функции. Если Х=\Х\, Хь Х3\, то в первом случае выражение (3.37) имеет вид

Однофакторную регрессионную модель при помощи системы ортогональных полиномов Чебышева можно записать следующим образом (если число равноотстоящих уровней фактора равно 1 Г) :

Этих недостатков лишена модель в виде суммы ортогональных полиномов Чебышева [67]:

Для облегчения вычислений коэффициентов модели (5.17) разработаны таблицы значений ортогональных полиномов Чебышева. В них (см. табл. П. 12) приведены значения скорректированных полимонов р- (х), которые отличаются от р. (х) только постоянными множителями

Гогда &0=2,28±0,048; 61=0,2028±0,0151; 62=0,1848±0,0055; 63=0,0121± ±0,00195. Округляя параметры, с учетом значений доверительных интервалов получаем по таблице ортогональных полиномов Чебышева (табл. П. 12) y=2,3+0,21x+0,185(;c2- 10) +0,012(*3- 17,8л:) =0,45+0,185*2+0,012л;3. Для перехода к натуральной модели подставляем в полученную нормализованную модель значение нормализованного фактора х= (v~ 110) /20. Окончательно получаем