Пространственно криволинейного

В первой части учебника изложены основные положения статики стержней, методы вывода уравнений равновесия в нелинейной и линейной постановке, методы численного интегрирования уравнений равновесия. Рассмотрены задачи статической устойчивости пространственно-криволинейных стержней при больших перемещениях. Изложены основные положения теории взаимодействия стержней с внешним и внутренним потоками воздуха или жидкости. Большое внимание уделено прикладным задачам статики стержней из различных областей техники и их решению численными методами с использованием ЭВМ.

Задачи статики и динамики пространственно-криволинейных стержней частично рассмотрены в монографиях [1, 11, 13, 14J, но в учебной литературе, например [15, 16, 19], им уделено мало внимания, несмотря на то что они очень часто встречаются в инженерной практике.

Теория пространственно-криволинейных стержней необходима не только для расчета стержней, которые в естественном состоянии (до нагружения) имели пространственную форму (к,ак, например, пружины, показанные на рис. В.7 и В.8), но и для исследо-

В первой главе изложены методы вывода уравнений равновесия для наиболее общего случая пространственно-криволинейных стержней. При выводе используется векторное исчисление, позволяющее получить уравнения в наиболее компактной форме записи, удобной при преобразованиях. Используются две системы координат: неподвижная (декартова) и подвижная (связанная с осевой линией стержня). В зависимости от конкретных условий задачи выбор системы координат может существенно упростить уравнения и их решение.

Если при е=Ю краевые условия однородные, то шесть компонент вектора С равны нулю. Определив произвольные постоянные и компоненты реакции R, получаем общее решение системы уравнений равновесия стержня с учетом промежуточной шарнирной опоры. Этот метод легко обобщить на стержень с любым числом промежуточных опор. Изложенный метод можно рассматривать как обобщенный метод Крылова для пространственно-криволинейных стержней.

Для решения уравнений (4.71), (4.72) [совместно с остальными уравнениями (4.51) — (4.53)] можно воспользоваться приближенным методом, рассмотрев уравнения нулевого и первого приближений, которые для общего случая пространственно-криволинейных стержней были получены в § 1.4.

В первой главе были получены уравнения равновесия для наиболее общего случая, когда осевая линия стержня в естественном состоянии является пространственной кривой. Эти уравнения содержат в себе ряд частных случаев задач статики стержней, а именно задачи статики стержней, осевая линия которых в естественном состоянии есть прямая (эти задачи рассмотрены в предыдущей главе) и плоская кривая. К частному случаю общих уравнений можно отнести и уравнения равновесия пространственно-криволинейных стержней, осевая линия которых в естественном состоянии представляет собой винтовую линию. Примеры использования таких стержневых элементов в различных областях техники приведены во Введении. Эти частные задачи статики стержней рассматриваются в данной главе.

Во второй части учебника изложены основные положения динамики стержней, дан вывод уравнений движения стержней в линейной и нелинейной постановке; приведены уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней с изложением численных методов определения частот и форм колебаний. Большое внимание уделено неконсервативным задачам с изложением методов исследования динамической устойчивости малых колебаний. Рассмотрены параметрические и случайные колебания стержней. Приведены примеры численного решения прикладных задач с использованием ЭВМ.

В данном параграфе были выведены основные уравнения движения для наиболее общего случая пространственно-криволинейных стержней в векторной и скалярной форме записи с использованием двух координатных систем: декартовой и связанной.

ПРОСТРАНСТВЕННО-КРИВОЛИНЕЙНЫХ

Для исследования колебаний стержней необходимо иметь соответствующие уравнения движения. Поэтому первые параграфы данной главы посвящены выводу основных уравнений малых колебаний пространственно-криволинейных стержней. Остальные параграфы главы посвящены частным случаям уравнений малых колебаний.

Полученная система пяти уравнений (1.31) — (1.35) [или (1.36)] содержит пять неизвестных векторов: Q, М, ф, х и и. Рассмотрим более подробно полученную систему нелинейных векторных уравнений равновесия пространственно-криволинейного стержня.

Краевые условия. Возможные краевые условия при решении уравнений равновесия стержня можно разбить на два класса: однородные и неоднородные. Для пространственно-криволинейного стержня общее число краевых условий равно 12 [6 условий на левом (при 8=0) и 6 условий на 'правом (при е=1) конце стержня]. Для консольного стержня (рис. 1.7, а) имеем следующие краевые условия: 1) е = 0 u = 0, ft=0; 2) при е=1 Q = P(3),

Уравнения равновесия в связанной системе координат. Рассмотрим частный случай уравнений равновесия пространственно-криволинейного стержня, когда компоненты век-

Метод последовательных приближений при решении нелинейных уравнений равновесия. Для пространственно-криволинейного стержня имеем систему пяти нелинейных уравнений [уравнения

Моменты Mi равны (для пространственно-криволинейного стержня) :

1. Для пространственно-криволинейного стержня из уравнения (5.151) получаем

5.2. Осевая линия стержня есть пространственная кривая. Уравнение осевой линии пространственно-криволинейного стержня можно представить в виде системы двух уравнений

Решая систему уравнений (П.183) (задача Коши), определяем */(е), а затем X'J(E), Xj" и х"'. Кривизна и кручение осевой линии пространственно криволинейного стержня равны

ножных записей уравнений малых колебаний пространственно-криволинейного стержня:

летворения краевым условиям необходимо иметь среди неизвестных функций момент AM. Уравнения зависят от статического напряженно-деформированного состояния, т. е. описывают малые колебания пространственно-криволинейного стержня относительно состояния равновесия.

Уравнения малых колебаний прямолинейного стержня, имеющего продольное движение. Общие нелинейные уравнения движения пространственно-криволинейного стержня (см. рис. 2.4), имеющего принудительную угловую скорость вращения шо и принудительную скорость продольного движения w0, были получены в § 2.1. Уравнения, характеризующие стационарный режим движения, когда форма осевой линии стержня остается в пространстве неизменной, получены в § 2.4. Уравнения малых колебаний стержня относительно стационарного движения были получены в § 3.4. Уравнения, полученные в § 3.4, описывают малые колебания стержня относительно стационарного движения, когда осевая линия стержня есть пространственная кривая. Можно уравнения малых колебаний стержня относительно прямолинейного движения, например ветвь передачи с гибкой связью (см. рис. В. 5), получить из этих общих уравнений. Но для выяснения основных особенностей подобных задач целесообразно для частного случая колебаний прямолинейного стержня еще раз повторить вывод уравлений малых колебаний относительно прямолинейного стационарного движения стержня.