Пространстве параметров

направление оси устойчивого вращения сохраняется^^Например, если, взявшись за основание карданного подвеса, изменять произвольным образом его ориентировку, то шарниры будут вращаться таким образом, чтобы ось сохраняла неизменное направление в пространстве. Поэтому если кардан укреплен на каком-либо теле, например на ракете, то при произвольном движении ракеты ось сохраняет неизменное направление в пространстве относительно системы неподвижных звезд. Находясь на ракете, в любой момент можно определить ее ориентировку в пространстве, зная положение ракеты относительно оси. Это обстоятельство делает гироскоп важнейшим навигационным инструментом при полете ракет. Он является также главным элементом автопилота — устройства, которое обеспечивает автоматическое управление полетом самолета. Известны также многие другие его применения. О некоторых из них будет сказано позднее.

гался бы по орбите, плоскость которой сохраняет неизменную ориентацию в пространстве относительно системы неподвижных звезд. Элементы орбиты в этом случае определяются законами Кеплера. Так как Земля вращается, то при каждом последующем обороте спутник движется над разными точками земной поверхности. Зная трассу спутника за один какой-либо оборот, нетрудно предсказать его положение во все последующие моменты времени. Для этого необходимо учесть, что Земля вращается с запада на восток с угловой скоростью примерно 15° в час. Поэтому на последующем обороте спутник пересекает ту же широту западнее на столько градусов, на сколько Земля повернется на восток за период вращения спутника (рис. 120).

5. Тело называется свободным, если его перемещения в пространстве относительно некоторого тела отсчета ничем не ограничены. Примерами свободных тел могут служить кометы, планеты, космические корабли.

Применение лазерных измерительных систем в геодезии сталкивается с проблемой нестабильности лазерного пучка в пространстве, относительно которого определяются поперечные отклонения контролируемых точек. В работе [51] предложен метод решения указанной задачи путем сопоставления результатов измерений поперечных опоюнений с отношением расстояний между предметной и картинной плоскостями. Лазерная измерительная система для контроля подкрановых путей, реализующая этот метод, содержит светодиоидный источник излучения, координатно-чувствительный фотоприемник на базе /73С, аналогово-цифровой преобразователь, накопитель, мини-ЭВМ и клавиатуру для управления процесеом обработки результатов измерений.

хуг (рис. 113). Положение точки М в пространстве определяется тремя координатами. Эти координаты изменяются при переходе точки в другое положение. Кривая, которую описывает точка при движении в пространстве^ относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией.

Вследствие нагружения тел внешними силами они деформируются. При деформации тела его точки, а также мысленно проведенные линии и сечения перемещаются в плоскости или пространстве относительно своего первоначального положения.

В настоящее время все большее внимание обращают на зависимость коррозии от формы изделий, их внешнего вида, положения в пространстве относительно других объектов. Путем выбора рациональных форм конструкций можно добиться ослабления коррозии [12—13].

Метод координат. Положение точки М в пространстве относительно той или иной системы координат определяется тремя числами — координатами.

8. Методы цифрового описания положений элементов конструкций в пространстве относительно друг друга

Определение пространственной ориентации осей базовой системы координат элемента. Привязочную систему координат типовой поверхности необходимо ориентировать в пространстве относительно одной из заданных уже систем координат, которая называется базой пространственной ориентации 5угл. Ею могут быть базовая система координат детали, привязочная система координат другой типовой поверхности или вспомогательная система координат.

8. Методы цифрового описания положений элементов конструкций в пространстве относительно друг друга . . . .116

В общем случае проектируемая система зависит от г варьируемых параметров ai...'x,, которые являются координатами точки п.— = (а.\...ъг) в r-мерном пространстве параметров. Параметрам задаются пределы, в которых они могут изменяться (ограничения).

и, что существенно, в пространстве параметров многомерной динамической системы могут существовать целые области негрубых систем. (Подробнее об этом см., например, в книге [6].)

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых нарушается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности: замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность *). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Мы. Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа Op'q. Так как фазовая кривая Г выходит из О"'9, то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию Sp. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5^ пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и S4 не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означает, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на единицу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу: когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви-

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях Мш и N0. Поверхность Na не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двояко-асимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для vroro требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S,,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности N0 происходит слияние состояний равновесия О"-" и О*1- ?~( Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"-" проходят интегральные многообразия Sp и SQ и через точку Qp+i.q-i — интегральные многообразия Sp+l и 8^г. Пересечение многообразий SQ и Sj,+l является общим. В силу того, что на поверхности N0 состояния равновесия Ор-« и о**1''"1 сливаются, до момента этого слияния поверхности S, и Sp+l в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо-

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е. Консервативные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю.

7. Бифуркации синхронизмов. Выбранный выше специальный путь был удобен тем, что он позволил увидеть структуру возникающего нового установившегося движения, но поскольку множество стохастических синхронизмов образует в пространстве параметров область, то переход от обычного синхронизма к стохастическому возможен и общим образом.

Приведенные выше бифуркационные диаграммы являются простейшими, т.к. в данном анализе не учитывалось влияние на механизм самоорганизации интенсивности внешних связей, налагаемых на систему средой. Учет этих факторов приводит к "каскаду" неустойчивостей системы, отвечающих переходам устойчивость - неустойчивость устойчивость. Это означает, что в пространстве параметров существует область, достаточно близкая к термодинамическому равновесию, в которой нелинейности перестают играть свою роль, независимо от того, какую систему мы изучаем.

Таким образом, задача динамического синтеза предполагает определение такой точки в пространстве параметров, для которой целевая функция принимает экстремальное значение. Так как набор параметров для выбранной структуры вполне определен, то пространство параметров в данном случае является конечномерным.

В математике разработаны эффективные процедуры поиска искомой точки в пространстве параметров, иными словами — набора параметров, являющихся оптимальными.

Для того, чтобы быть уверенным в том, что в результате применения метода Гаусса—Зейделя или метода наискорейшего спуска получен глобальный, а не локальный минимум целевой функции, приходится неоднократно повторять процедуру поиска, начиная его из различных начальных точек в пространстве параметров.

Рассматриваемый здесь пример процедуры определения оптимальных параметров R0 и е показывает, что при решении задач Т ММ наиболее целесообразным представляется проведение оптимизации по методу Гаусса—Зейделя. Это объясняется тем, что при использовании данного метода в конечном итоге конструктор не только находит искомую точку в пространстве параметров (оптимальные значения R0 и е), но и получает информацию о влиянии каждого отдельного параметра на значение целевой функции. Эта информация оказывается весьма полезной, так как дает представление о характере зависимости целевой функции от параметров и позволяет упрощать процедуры поиска оптимальных параметров при изменении условий задачи.