Произвольное положение

Интегрирование линейных уравнений равновесия винтового стержня. Если винтовой стержень используется в качестве чувствительного элемента, например акселерометра, он нагружается распределенными силами, причем вектор q распределенных сил может иметь произвольное направление. В этом случае определить напряженно-деформированное состояние винтового стержня можно только решая систему дифференциальных уравнений. Если рассматриваются малые перемещения точек осевой линии, для определения напряженно-деформированного состояния стержня можно использовать уравнения равновесия нулевого приближения (1.107) — (1.111), положив fio=0:

ТЕПЛОВОЙ ПОТОК — отношение кол-ва теплоты, передаваемой через рассматриваемую поверхность в процессе теплообмена, к продолжительности передачи теплоты. Отношение Т. п. к площади поверхности наз. плотностью Т. п. В Междунар. системе единиц (СИ) Т. п. выражается в Вт, а плотность Т. п.— в Вт/мг. Вектором плотности Т. п. наз. вектор, проекция к-poro на произвольное направление равна плотности Т. п., проходящего через площадку, перпендикулярную рассматриваемому направлению.

В дополнение к количественным параметрам для более полной характеристики шероховатости учитывается направление неровностей: произвольное, параллельное, перпендикулярное и др. Произвольное направление обозначают знаком М, параллельное — двумя горизонтальными параллельными линиями, а перпендикулярное — двумя взаимно перпендикулярными линиями.

когда ММ' стремится к нулю. Здесь М' — точка на полупрямой My' и (/' — значение функции U в этой точке. Так как направление оси О у может быть выбрано произвольно, то мы видим, что проекция силы F на произвольное направление MD равна пределу отношения

2°. Пары, векторные моменты которых пропорциональны площадям граней многогранника и направлены внутрь нормально к ним, находятся в равновесии. В самом деле, сумма проекций моментов этих пар на произвольное направление равна нулю.

Обе силы Т1 и Т2 равны и противоположно направлены, так как единственными действующими на стержень внешними силами, сумма проекций которых на произвольное направление должна равняться нулю, являются силы Т1 и Г2 и пары Л/х и Л/2.

Случай, когда мгновенное вращение шара имеет произвольное направление. В предыдущих экспериментах ядро вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости траектории. Производились также эксперименты, в которых мгновенная ось вращения имела произвольное, но известное направление. В этом случае траектория была, вообще говоря, пространственной кривой. Предполагается, что та же самая гипотеза относительно полного эффекта сопротивления среды может быть сделана и для такого рода движений. Сопротивление R = mgy (v) вместо того, .чтобы быть

деляемого в сопротивлении материалов компонента касательного напряжения т:гх при изгибе в плоскости гх или т:гу при изгибе в плоскости гу. Наконец, третий вопрос, не получивший исчерпывающего пояснения, касается центра изгиба. В § 12.8 было введено понятие о центре изгиба и показано, как находить координаты этой точки в случае, если стержень имеет открытое тонкостенное сечение. В общем случае определение координат центра изгиба рассмотрено не было. На все три отмеченных вопроса можно дать ответ, рассматривая при помощи аппарата теории упругости изгиб консольной балки силой Р, лежащей в плоскости ее торца и имеющей произвольную точку приложения и произвольное направление. Поскольку деформация, вызываемая такой силой, не является элементарной, этот вопрос рассматривается в настоящей главе в данном параграфе. Строго говоря, и материал § 12.8 не относится к плоскому изгибу, о чем там говорилось, однако его мы поместили в главу XII с целью показа границы области, в которой возникает плоский изгиб.

В более общем случае, когда в результате разрушения шарнира нормальная цепь с жестким закреплением концов всех поводков распадается на два механизма, что имеет место для всех подобных цепей первого и второго классов, Ассур предлагает вариант этого же метода. Предполагая, что обе части механизма находятся в равновесии, он раскладывает уравновешивающую силу на две составляющие, одна из которых имеет произвольное направление, а вторая — перпендикулярна к скорости разъединенного шарнира на одном из механизмов. Тогда графическое решение задачи проводится с помощью построения жестких рычагов, изображающих планы скоростей механизмов. Ассур приводит в качестве примера определение давления в шарнире разъема для четырех поводковой цепи первого класса.

функционал Ф(и) превращается в проекцию вектора скорости на произвольное направление q+ в точке потока г0: Ф(и) = м/ (г0). Если

Таким образом, проекция вектора скорости потока жидкости на произвольное направление q+ в точке наблюдения FI, если единичная движущая сила приложена в точке г потока в направлении q, равна проекции вектора скорости потока на направление q в точке г, если единичная движущая сила приложена в точке ri потока в направлении q+ и направление течения жидкости в канале изменилось на противоположное.

Шесть степеней свободы, которыми обладает захват, позволяют ему занимать произвольное положение в некоторой области пространства. Эту область ограничивают конкретные связи кинематической цепи, в том числе и длины звеньев.

,; Ограничения (условия), которые не позволяют точкам материальной системы занимать произвольное положение в пространстве и иметь произвольные скорости, называются связями. Связь налагает ограничения на изменение координат и скоростей точек. Аналитически эти ограничения записываются в виде уравнений или неравенств;

a CD—p, можно сделать вывод: силы PJ и Р3 представляют собой данную пару сил, перемещенную в требуемое (произвольное) положение. Второе свойство. Пару сил, не изменяя ее действия на тело, можно переместить в плоскость, параллельную плоскости ее действия, или параллельно самой себе.

По чертежу видно, что RJ и R2 расположены на одной прямой, и так как они равны и направлены в противоположные стороны, то, следовательно, взаимно уравновешиваются. Оставшиеся силы Рх и Р3 переносим в точки Си/). Учитывая, что Р, = Ра = Р, a CD = р, можно сделать вывод: силы Р1 и Р3 представляют собой данную пару сил, перемещенную в требуемое (произвольное) положение.

Шесть степеней свободы, которыми обладает захват, позволяют ему занимать произвольное положение в некоторой области пространства. Эту область ограничивают конкретные связи кинематической цепи, в том числе и длины звеньев.

6. Принцип минимума суммы квадратов расстояний. (Мёбиус и Гаусс, Crelle, т. 4.) Дана система точек Мь М2 ..... Мп, находящаяся под действием сил PI, Р2 ..... Рп- Система находится в равновесии в положении mlt mz ..... тп, где силы имеют значения рь р2, ..., рп. Отложим от точки mL В направлении силы р± отрезок /HjOj, равный p^k, от точки т2 в направлении pz — отрезок тп^з, равный p2jk, ..., где k — отличная от нуля постоянная. Возьмем после этого произвольное положение MI, М^ ..... Мп системы и приложим к точкам Mlt Mf, ..., Мп силы Р\, Р'2, ..., Р'П, направленные соответственно по прямым М^О^, М2О* ..... МпОп и равные kM^Oit kM
-) эта орбита является эллипсом, в котором главная звезда Е занимает произвольное положение, отличное от фокуса.

14. Задача Эйлера и Саладини. Какую кривую нужно провести в вертикальной плоскости из точки О, чтобы тяжелая точка, пущенная по этой кривой из О без начальной скорости, пришла в произвольное положение М на этой кривой за то же время, какое ей потребовалось бы, если бы она скользила вдоль хорды ОМ? (Получается лемниската; Эйлер, т. II его Механики, 1736; Саладини, Memoires de 1'Istituto nazionale italiano, 1804; см. статью Фуре «Bulletin de la Societe mathematique», т. XX.)

269. Естественные уравнения и нормальная реакция. Отметим на траектории, лежащей на поверхности, начало дуг А (рис. 166). Пусть М — произвольное положение движущейся точки. Проведем через эту точку касательную МТ в направлении возрастающих дуг, и пусть С — центр кривизны нормального сечения поверхности, касающегося МТ, R — MC — его радиус кривизны. За положительное направление нормали к поверхности мы примем направление МС. Пусть также МС' — главная нормаль траектории и р = МС' — ее радиус кривизны. Обозначим через 6 угол между соприкасающейся плоскостью ТМС' траектории и нормалью к поверхности. На основании теоремы Менье имеем

Во многих случаях на практике опоры вала (стойки, а иногда и подшипники) обладают достаточно большой податливостью, сравнимой с податливостью (гибкостью) самого вала. В некоторых случаях податливость вала такова, что его вместе с прикрепленными к нему деталями можно рассматривать как абсолютно твердое тело. Это один из крайних случаев — вращающееся абсолютно твердое тело на эластичной подвеске. К такого рода системам приходят обычно при рассмотрении задачи об уравновешивании ротора на балансировочных машинах. При этом центр массы может занимать произвольное положение по отношению к центру упругого сопротивления системы подвески, т. е. по отношению к «центру упругой подвески». Здесь же рассмотрим «симметричный» случай, т. е. такой, когда опоры по своим упругим свойствам одинаковы и центр массы расположен симметрично между опорами. Однако сделаем предположение, что упругие свойства опоры не одинаковы в двух направлениях, взятых в плоскости, перпендикулярной к оси вала, а кроме того, учтем гироскопическое действие массы при «косых колебаниях», т. е. при колебаниях, сопровождающихся поворотами диска.

Рассмотрим пространственный четырехзвенный механизм с одним вращательным шарниром / и тремя цилиндрическими 2, 3, 4 (рис. 20). Вращательный шарнир допускает относительное вращение примыкающих звеньев на произвольный угол, цилиндрические шарниры допускают вращение совместно со скольжением. Оси шарниров занимают в пространстве произвольное положение. Условимся называть звеном жесткую конфигурацию, состоящую из двух соседних осей шарниров и отрезка линии кратчайшего расстояния между ними. Таким образом, звено геометрически характеризуется комплексным углом, главная часть которого есть собственно угол между осями расположенных на его концах шарниров, а моментная часть — длина звена.