Площадках перпендикулярных

Таким образом, о, = ау «= 900 кгс/см2; а, = 800 кгс/см1 и а, = т* — 200 кгс/см2. Найденные главные напряжения (ста и а„) действуют на площадках, параллельных оси у (известной главной оси). Положение их определим! используя формулу (11):

Если главные напряжения в данной точке известны, то могут быть найдены напряжения в любой площадке, проходящей через эту точку. Рассмотрим пример определения напряжений в площадках, параллельных одному из главных напряжений, допустим 02 (рис. 2. 127, а).

Таким образом, о, = ау = 900 кгс/см2; аг = 800 кгс/см2 и а, = *= —200 кгс/см2. Найденные главные напряжения (ста и
Уравнения (5.73) и (5.74) повторяют уравнения (5.17) с точностью до обозначений. Поэтому вращение площадки с нормалью v относительно оси х' характеризуется тем, что av и TV( изменяются так же, как и в случае двумерного напряженного состояния, даже если х не совпадает с направлением главного напряжения. Таким образом, для охарактеризования av и TV< может быть применен обычный круг Мора. Экстремальные нормальные напряжения ст2л; и о3х из множества нормальных напряжений, действующих на'площадках, параллельных оси х, могут быть названы псевдоглавными напряжениями, а экстремальная касательная вдоль оси t составляющая напряжений

Второе уравнение равновесия удовлетворено, а первое — нет, выражение, стоящее в левой части (12.66)х, не нуль. Неудовлетворения первому уравнению равновесия следовало ожидать, так как принимаемое в технической теории равенство <ту = 0 противоречит хотя бы тому условию, что на верхней грани балки av = — q; разумеется, ау^=0 и на площадках, параллельных верхней грани. Для обращения в нуль выражения, стоящего в левой части уравнения (12.66)!, производная даи/ду должна иметь следующую структуру:

При рассмотрении же поперечного изгиба было обнаружено, что, во-первых, поперечные сечения вследствие неравномерности сдвигов по высоте балки искривляются, а на площадках, параллельных оси г, вообще говоря, возникают нормальные напряжения. Эти факторы при формальном подходе к вопросу противоречат содержанию гипотез, принятых в § 12.3 для чистого изгиба и далее распространенных на случай поперечного изгиба. Однако на самом деле результаты, полученные в § 12.4 и § 12.6, вполне приемлемы применительно к поперечному изгибу. В сказанном утверждают и оба примера, рассмотренных в настоящем параграфе.

б) нормальные напряжения на площадках, параллельных оси балки, пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями в поперечных сечениях.

Второе предположение состоит в том, что нормальные напряжения, действующие на площадках, параллельных оси балки, считаются равными нулю. Если отсутствие этих напряжений в чисто упругой балке при чистом изгибе подтверждается строгой теорией, то в случае работы материала балки в упруго-пластической области обнаруживается, что, вследствие неодинаковости коэффициента Пуассона в пластической и упругой областях (в первой г = 0,5, а во второй [х<;0,5), возникают самоуравновешенные нормальные напряжения на плоскостях, параллельных нейтральному слою, а также касательные напряжения. Как показывает эксперимент, неучет этого взаимодействия волокон, параллельных оси, не влечет за собой заметной погрешности и является приемлемым.

Пренебрегая нормальными напряжениями в площадках, параллельных срединной плоскости, напряженное состояние изогнутой пластины можно считать двухосным. Тогда по формуле (2.8) получим

В основе расчета пластин на изгиб лежат гипотезы Кирхгоффа. Согласно первой из этих Гипотез предполагается, что материальный элемент ОМ (рис, 1.2), до деформации нормальный к срединной плоскости пластины, после деформации остается прямолинейным и нормальным к изогнутой срединной поверхности. Эта гипотеза, аналогичная гипотезе плоских сечений в теории изгиба балок, позволяет связать перемещения любой точки в массиве пластины с перемещениями точек срединной поверхности. Согласно второй гипотезе Кирхгоффа нормальные напряжения аг в площадках, параллельных срединной плоскости, предполагаются малыми по сравнению с напряжениями ах, ау в перпендикулярных площадках.

(напомним, что вогласно гипотезам Кирхгоффа — Лява напряжение az в площадках, параллельных срединной поверхности, полагается пренебрежимо малым). Подставляя в формулы (3. ) 7) значения деформаций (3.12), (3.13), выразим напряжения в произвольной точке через деформации и параметры изменения кривизны "срединной поверхности:

будут зависеть от напряжений на неглавных площадках, перпендикулярных к осям х и г. По формуле (10)

будут зависеть от напряжений на неглавных площадках< перпендикулярных к осям х и z. По формуле (10)

Подстрочные индексы указывают направление внешней нормали к той площадке, к которой относится нормальное напряжение. Первый индекс касательных напряжений указывает направление их действия, а второй — направление внешней нормали к площадке, к которой приложено данное напряжение. На площадках, перпендикулярных к главным осям тензора (1.1), касательные напряжения отсутствуют, а нормальные напряжения являются главными и обозначаются < Оз < ф ^ °1-Стеснение пластической деформации характеризуют [4] соотношением между средним гидростатическим давлением Ру и интенсивностью каса-

Всестороннее давление —Р\ является реакцией, соответствующей ограничению несжимаемости. Для удобства из этого напряжения вычитается его проекция на направление волокна с тем, чтобы величина Т была равна полному растягивающему напряжению на площадках, перпендикулярных направлению а.

Прежде всего предположим, что свойства материала симметричны по отношению к отражениям относительно плоскостей z = const. Отсюда следует, что при плоских деформациях на этих плоскостях не могут возникать касательные напряжения. Заметим также, что если мы определим Т и —Р как полные нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных направлениям а и п соответственно, то напряжение S не сможет давать вклада в Т и Р. Отсюда следует, что S должно иметь вид

Таким образом, сосредоточим внимание на исследовании деформации, которую мы назвали «состоянием чистого растяжения». Растяжение в осевом направлении с необходимостью влечет за собой, разумеется, изменение размеров и формы поперечного сечения. Если в начальном состоянии волокна прямолинейны и параллельны, то переход от начального состояния к состоянию чистого растяжения определяется формулами (91). В этом случае деформация поперечного сечения тела представляет собой чистое сжатие в направлениях, перпендикулярных оси. Поскольку сдвиг отсутствует, касательное напряжение S равно нулю и уравнения равновесия удовлетворяются при Т = = Р = 0. (Уравнения равновесия имеют в точности ту же форму, что и для случая обычной плоской деформации.) Единственная ненулевая компонента тензора напряжений 53(ОД) представляет собой нормальное напряжение на площадках, перпендикулярных оси растяжения.

одной — нормального напряжения на площадках, перпендикулярных оси. Мы назовем соответствующее напряженное состояние состоянием чистого натяжения1). Как мы увидим ниже, в общем случае такого состояния не существует: при осевом растяжении возникает поле напряжений, отличающееся от состояния чистого натяжения. Однако в наиболее важном частном случае первоначально параллельных волокон при одноосном растяжении такое состояние возможно.

PHC. 2.H. Копцеитря!хия напряжений при объемном напряженном состоянии: а) эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении; б) эпюра нормальных напряжений на площадках, перпендикулярных радиусу.

Искажение поля напряжений вблизи концентратора проявляется и в площадках, перпендикулярных поперечному сечению. В таких площадках в растянутой призме, не содержащей концентраторов, напряжения равны нулю, а при наличии концентратора они отличны от нуля (рис. 2.11, б). Таким образом, даже в случае осевой деформации, например, цилиндра с концентратором, вблизи последнего возникает сложное напряженное состояние (рис. 2.11) — действуют напряжения, отличные от нуля, на всех гранях бесконечно малого элемента, мысленно выделенного из тела. Такое измене и и е

Исследованию будут подвергаться напряжения, действующие лишь на площадках, перпендикулярных к главной площадке с нулевым главным напряжением.

У самого отверстия, т. е. при г = а, напряжения приобретают следующие величины: на площадках, перпендикулярных к направлению растяжения, т. е. при ft = я/2 (рис. 9.53)