Площадкам параллельным

1. Если аг = а2 = а (рис. 100, а), то на всех площадках, проходящих через рассматриваемую точку,

Следовательно, из девяти компонентов независимы друг от друга только шесть. И если эти независимые друг от друга напряжения известны, то методами статики можно определить напряжения в любой другой плоскости, проходящей через данную точку (частный случай подобной задачи рассмотрен в § 2.8). Таким образом, напряженное состояние в точке известно, если определены напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку.

Напряжения в точке тела зависят от ориентации площадки, проходящей через эту точку. Через точку тела можно провести бесконечное множество площадок, и, следовательно, в каждой точке тела существует бесчисленное множество напряжений. Совокупность этого множества напряжений на всех площадках, проходящих через данную точку, характеризует напряженное состояние в данной точке.

Если в окрестности какой-либо точки К тела выделить элементарный объем в форме параллелепипеда, грани которого перпендикулярны координатным осям (рис. 4), то на этих гранях, как на площадках, проходящих через данную точку, будут действовать полные напряжения Рх> PVi Pz- Спроектировав их на координатные' оси, получим девять напряжений, которые называют компонентами напряжения в точке К:

Напряженное состояние определено, т. е. можно найти напряжения на любой площадке, если известны напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку.

На гранях элемента, совпадающих с радиальными сечениями бруса, возникают такие же по величине касательные напряжения (закон парности касательных напряжений); нормальные напряжения на этих гранях не возникают, так как волокна бруса друг на друга не давят. Грань элемента, отмеченная точками, от напряжений свободна. Поскольку напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку, известны, то напряженное состояние в этой точке определено, т. е. можно найти напряжения на любой проходящей через точку площадке; так же можно найти главные напряжения. Не приводя довольно громоздких выводов, укажем формулы для определения главных напряжений:

В различных площадках, проходящих через одну и ту же точку, возникают, вообще говоря, различные напряжения, в чем мы могли убедиться ранее, изучая растяжение и сжатие.

Напряжения в точке тела зависят от ориентации площадки, проходящей через эту точку. Через точку тела можно провести бесконечное множество площадок, и, следовательно, в каждой точке тела существует бесчисленное множество напряжений. Совокупность этого множества напряжений на всех площадках, проходящих через данную точку, характеризует напряженное состояние в данной точке.

Если в окрестности какой-либо точки К тела выделить элементарный объем в форме параллелепипеда, грани которого перпендикулярны координатным осям (рис. 4), то на этих гранях, как на площадках, проходящих через данную точку, будут действовать полные напряжения Pxi Py> Pz- Спроектировав их на координатные оси, получим девять напряжений, которые называют компонентами напряжения в точке К'.

На разных площадках, проходящих через одну и ту же точку, действуют, вообще говоря, различные напряжения. Напряжение pv представляет собой вектор и может быть разложено на составляющие: нормальную 0V, вдоль'нормали, и касательную TV, в плоскости

ортогональных площадках, проходящих через точку А и параллельных координатным плоскостям, называются компонентами напряжения в точке А в системе осей хуг. Ниже будет показано, что напряжения, действующие на всех площадках, проходящих через точку напряженного тела, можно рассматривать как некоторый единый объект — тензор напряжения. Именно поэтому в термине «компоненты напряжения» последнее слово применено в единственном числе. Каждый из компонентов в различных точках тела, вообще говоря, различен, т. е. является функцией координат точек тела:

Они не зависят от известного главного напряжения и действуют по площадкам, параллельным главной оси х. Положения этих площадок определяются углами о^ и аа, которые находят по формуле

Они не зависят от известного главного напряжения и действуют по площадкам, параллельным главной оси х. Положения этих площадок определяются углами at и аа, которые находят по формуле

При растяжении образца, ось которого составляет угол a с направлением волокон (см. рис. 2.1), разрушение, как правило, происходит по площадкам, параллельным волокну, особенно в случаях существенно анизотропных композиционных материалов. По таким слабым площадкам одновременно действуют

*) Напряженное состояние бруса полученной здесь формы при более строгой постановке задачи, осуществляемой в теории упругости, отличается от рассматриваемого в настоятрм ППИМРПР ппя ^пт/->г./-.ч п^ п^*-» ^""срс"::™ ;;•:;::::,-;; нормальные напряжения распределены равномерно, по площадкам, параллельным оси бруса, отсутствуют нормальные напряжения и всюду отсутствуют касательные напряжения.

Определяемые по формуле (10) главные напряжения не зависят от известного главного напряжения. Они действуют по площадкам, параллельным главной оси х. Положения этих площадок определяются углами аг и а2 (фиг. 6, б), которые находятся по формуле

Таким образом, o"i = а = 900 кГ/смг, О2 = 800 кГ/см' и <73 = = —200 кГ/см*. Найденные главные напряжения (О2 и ст3) действуют по площадкам, параллельным оси у (известной главной оси). Положение их определяется по формуле (И):

Кривые анизотропии пределов прочности при одноосном растяжении или сжатии. Графики изменения относительной величины предела прочности ав/00 в зависимости от угла наклона волокон а, построенные А. Н. Флак-серманом по экспериментальным данным, представлены пунктирными линиями на рис. 3.1 и 3.2. Величины 0В определялись по диаграммам испытаний. Рис. 3.1 соответствует радиальной, а рис. 3.2 — тангенциальной плоскости, в которых расположены оси всех образцов древесины. Различный вид диаграмм испытания и полиморфизм разрушения образцов привели А. Н. Флаксермана к предположению о связи пределов прочности сгв с величинами напряжений ах> оу и ъху, действующих в сжатом образце по площадкам, параллельным волокнам (рис. 3.3).

Положим, что ств — предел прочности при сжатии под углом ос к направлению х волокон древесины. Тогда величины напряжений, действующих по площадкам, параллельным волокнам, вычисляются по формулам:

Волокна металла при обработке давлением следует направлять так, чтобы поперек волокон не действовали растягивающие напряжения и по площадкам, параллельным волокнам, не действовали касательные напряжения. Площадки, параллельные направлению волокон, — наиболее слабые в прокатном металле. По возможности их необходимо располагать так, чтобы по этим площад-

Аналогичное явление, только выраженное значительно более резко, имеет место в древесине. Растягивающие и скалывающие напряжения по площадкам, параллельным волокнам, очень опасны для древесины и вызывают

ее хрупкое разрушение. Так же ведет себя и анизотропный прокатный металл. При действии растягивающих или скалывающих напряжений по площадкам, параллельным волокнам, разрушение может иметь хрупкий характер даже для пластичной стали, так как пройдет по слабым прослойкам неметаллических включений. Анализ поломок штампового инструмента показывает, что при неправильном расположении волокон разрушение металла происходит путем откола и отрыва без макроскопических признаков пластической деформации.