Площадкам симметрии

3. Нормальные напряжения аг, действующие по площадкам, перпендикулярным Оси Ог, весьма малы и ими можно пренебречь по сравнению с напряжениями ах и Оу. Благодаря этому обобщенный закон Гуна (2.86) приводится к виду:

Здесь аг, ав , т9г = тл9 — напряжения по координатным площадкам, перпендикулярным к радиусу гик тангенциальному направлению; В, R — нагрузка в направлении радиуса г на единицу объёма элемента.

На рис. 3 показаны также действующие по граням элемента радиальные аг и окружные ае напряжения. По площадкам, перпендикулярным осям р и s, кроме нормальных напряжений сгр и o"s, действуют и касательные напряжения TPS, а в поперечном сечении слоя — только осевые напряжения а2.

В площадках, перпендикулярных к направлению т, возникают касательные напряжения т' = т (закон парности кпсательнык напряжений). По другим площадкам, перпендикулярным к плоскости, в которой действуют напряжения т и г', возникают и нормальные, и касательные напряжения (см. гл. I, табл. 1). В площадках, наклоненных под углом 45° к площадкам чистого сдвига, яействуют наибольшие и наименьшие нормальные напряжения (главные напря жения):

о (у) и т (у) — нормальное и касательное напряжения в поперечном сечении балки на расстоянии у от нейтральной линии; о, и о3 — главные напряжения по площадкам, перпендикулярным к плоскости

Площадка, перпендикулярная оси у, — главная площадка и о„ — одно из трех главных напряжений. Поэтому два других главных напряжения будут зависеть от напряжений по неглавным площадкам, перпендикулярным осям х и z. В соответствии с формулой (10) имеем

Примечание, а (у) и т (у) — нормальное и касательное напряжения в поперечном сечении балки на расстоянии у от нейтральной линии; а, и О. — главные напряжения по площадкам, перпендикулярным к плоскости изгиба балки.

тором напряжения^', оу, оу действуют по площадкам, перпендикулярным осям х', у' иг', не совпадающим с осями симметрии ортотропного материала. В этом случае вместо формул (2.4) получим следующие шесть формул линейной упругости:

В общем случае по площадкам, перпендикулярным осям упругой симметрии материала, действуют нормальные напряжения ах и <зи и касательные txy. Поэтому для тензометрии применяется розетка из трех датчиков: два датчика, наклеиваемые строго по направлению осей симметрии х и у, служат для определения величин относительных продольных деформаций ъх и еу, а один датчик, наклеиваемый под углом 45° к первым двум в той же точке деталей, служит для вычисления угла сдвига уху, при этом применяется следующая формула, полученная из геометрических соображений:

Уравнение равноопасных состояний для ортотропных тел получает более простой и симметричный вид, если в него входят не главные напряжения, а напряжения, действующие по площадкам, перпендикулярным к осям симметрии материала х, у и г. Характеристики прочности при этом тоже определяются в осях симметрии материала. Экспериментальному определению подлежит весь комплекс характеристик прочности, который входит в уравнение равноопасных состояний.

напряжений, действующих по площадкам, перпендикулярным к осям симметрии. На рис. 3.5 показаны обе системы напряжений при плоском напряженном состоянии, главные напряжения ог и сг2 и напряжения ах, ау и гху: Обозначения напряжений с буквенными и цифровыми индексами были приведены в гл. 2. Обозначения с цифровыми индексами удобны для сокращения записи формул. Далее в этой главе используются цифровые обозначения

При испытании труб внутренним давлением разрушение проходило по площадкам симметрии материала. Для труб «Т» трещины проходили в основном по оси трубы, т. е. перпендикулярно наибольшему главному напряжению. Для труб «П» разрушение происходило в тангенциальном направлении, т. е. по площадке наименьшей прочности материала. В тех случаях, когда направления действия главных напряжений не совпадали с осями симметрии материала, трещины проходили по направлениям, промежуточным между направлением, перпендикулярным наибольшему главному напряжению и площадкой наименьшей прочности материала.

На рис. 2.5 показаны схемы ориентировки касательных напряжений т:ху при чистом сдвиге, отвечающем модулям сдвига G0 и G45. При сдвиге по площадкам симметрии, параллельным осям х и у (рис. 2.5, а), по формуле (2.34) определяется модуль G0 в плоскости ху. Этот модуль

По результатам тензометрии на изотропных материалах вычисляются главные напряжения, действующие в опасных точках. В случае, если исследуется прочность деталей из анизотропного материала, вычисление главных напряжений не является необходимым. Проверка прочности при плоском напряженном состоянии требует определения напряжений, действующих по площадкам симметрии материала (см. гл. 3). Если направление осей симметрии материала заранее известно, то задача эта существенно упрощается.

Рис. 3.3. Схема напряжений, действующих по площадкам симметрии ортотропного материала, при сжатии под углом к главной оси анизотропии X

где Of, ak, rik — напряжения, действующие по площадкам симметрии материала, перпендикулярным к осям симметрии i и k; ств/, (TBft,'TB/A—соответствующие пределы прочности материала.

определяется тем, что по осям координат откладываются для смежных октантов одинаковые величины констант. Четыре октанта, соответствующие отрицательным значениям касательных напряжений т:ху, не рассматриваются, поскольку отсутствуют экспериментальные данные, обнаруживающие какие-либо различия в прочности ортотроп-ных материалов при изменении знака касательных напряжений, действующих по площадкам симметрии.

Таким образом, на рис. 3.9 показан пример построения поверхности прочности, при котором по осям координат (декартовых) откладываются напряжения, действующие по площадкам симметрии материала. Поверхность равноопасных напряженных состояний, построенная на рис. 3.9 в первом октанте пространства напряжений, характеризует прочность материала для случая, когда по осям симметрии действуют растягивающие нормальные напряжения ох и оу. При этом в расчет вводятся исходные характеристики прочности материала, полученные по результатам испытаний на растяжение и на сдвиг.

На рис. 3.30 представлены три поверхности прочности, построенные для III октанта пространства напряжений, т. е. при действии сжимающих нормальных напряжений сгг и ak и касательных напряжений t[k по площадкам симметрии пластика. Поверхности построены для трех плоскостей симметрии пластика: плоскости листа ху (рис. 3.30, а), трансверсальной плоскости хг, проходящей через ось х преимущественного направления волокон и перпендикулярно плоскости листа (рис. 3.30, б), и трансверсальной плоскости г/г, перпендикулярной первым двум (рис. 3.30, в).

Различие между прочностью в тангенциальной и радиальной плоскостях удалось экспериментально обнаружить при двухосном сжатии. В случае двухосного сжатия в любой из трех плоскостей симметрии древесины при разных соотношениях сжимающих и при отсутствии касательных напряжений по площадкам симметрии (а = 0), можно построить кривые прочности по формуле

вероятности, для каждого типа труб построили две доверительные поверхности равноопасных напряженных состояний, между которыми располагалась поверхность, представленная на рис. 3.53, где ось х совмещена с направлением касательной к окружности, а ось у — с направлением образующей цилиндра. Напряжения ах, ау и т.ху действуют по площадкам симметрии материала.

При испытании труб внутренним давлением разрушение происходило по площадкам симметрии материала. При этом для труб типа Т трещины проходили в основном по оси трубы, т. е. перпендикулярно наибольшему главному напряжению. Для труб типа П разрушение происходило в тангенциальном направлении, т. е. по площадке наименьшей прочности материала. В тех случаях, когда направления действия главных напряжений не совпадали с осями симметрии материала, трещины проходили в направлениях, промежуточных между направлением, перпендикулярным наибольшему главному напряжению, и направлением наименьшей прочности материала.

повышенной при двухосном сжатии, как в случае совпадения главных напряжений с направлением осей симметрии (кривые CD на рис. 3.60 и 3.61 и особенно на рис. 3.58, б), так и в случае их произвольной ориентации, когда по площадкам симметрии материала действуют не только нормальные сжимающие (o'j и а^), но и касательные (т,-т) напряжения". В плоскости армирования ху поверхность прочности вписывается в параллелепипед, построенный на отрезках ОМ, ОС и CD, т. е. прочность при двухосном сжатии меньше, чем при одноосном. В трансверсальных плоскостях поверхности прочности выходят за пределы этого параллелепипеда (особенно сильно в случае транстропного материала — рис. 3.58, б). Прочность при двухосном сжатии оказывается более высокой, чем прочность при сжатии одноосном. Эти результаты не связаны с видом уравнений поверхности проч-