Плоскости комплексного

В состоянии покоя указанная деформация вызывается силой N12. Для осуществления качения к колесу нужно приложить движущую силу Р, работа которой затрачивается на деформацию и трение скольжения в непрерывно вступающих в контакт новых поверхностных слоях колеса и плоскости. Так как при качении колеса вправо упругие деформации колеса и плоскости на участке СА исчезают не мгновенно (вследствие внутреннего трения между частицами материала), то давление на участке СА оказывается меньше, чем на участке AD, и реакция jV2i (равнодействующая давления плоскости на колесо) смещается от точки А в сторону качения на расстояние k, т. е. в точку В. При качении, колеса впереди его на участке AD образуется как бы волнооб-, разный подъем, через который колесу непрерывно надо перекаты-' ваться. Переменное напряженное состояние, перемещающееся вместе с зоной контакта, вызывает в колесе и в плоскости колебания, затухающие вследствие внутреннего трения.

Просмотр шлифов в поляризованном свете — это важнейшее вспомогательное средство при исследовании включений и различии оптически изотропных кристаллов от оптически анизотропных. Изотропность определяется строением кристалла. Все вещества, кристаллизующиеся в кубической системе, и аморфные материалы являются оптически изотропными. Все вещества, кристаллизующиеся в других системах, относятся к оптически анизотропным материалам. Изотропные вещества, т. е. большинство металлов, дают одинарное лучепреломление и не изменяют плоскости поляризации плоскополяризованного света, так что наблюдаемое поле при рассмотрении со скрещенными николями (+Л?) остается темным и освещенность незначительно изменяется при повороте объектного столика. Оптически анизотропные кристаллы, например бериллия, кадмия, магния, титана, цинка, а также пластинчатого и коагулированного графита, напротив, дают двойное лучепреломление. Они соответственно их кристаллографической ориентации разлагают плоскополяризованный свет на две взаимно перпендикулярные поляризованные компоненты. Яркость света увеличивается в зависимости от положения оси кристалла к плоскости колебания анализатора при скрещенных николях. Интерметаллиды цветных металлов, кроме йнтерметал-лидов, образующихся на основе алюминия, кремния, свинца и AlSb, оптически различаются благодаря тому, что во время поворота объектного столика на 360° они четыре раза попеременно попадают в светлое и темное поле, при этом в отдельных случаях наблюдается окрашивание.

Целесообразность применения поляризованного света для исследования травленых образцов меди и ее сплавов подтверждена Шварцем [24]. В работе [45] предложено использовать поляризованный свет для исследования травления поверхности зерен большинства металлов и сплавов («оптическое окрашивание»). При повороте объектного столика меняется окраска в каждом азимуте. Самая интенсивная окраска наблюдается при положении, перпендикулярном к плоскости колебания света. При повороте объекта на 90° поверхность зерна окрашивается иначе. Поверхности зерен изменяют свою обычную окраску в светлом поле от светло-коричневой до темно-коричневой, если анализатор поворачивают на 90°, т. е. николи расположены параллельно.

Установлено, что относительное демпфирование улучшается с увеличением угла петли трубопровода к плоскости колебания. Кроме того, при больших абсолютных амплитудах имеется некоторый предел демпфирования, который в данном случае численно совпадает с амплитудой колебания вибрации трубопровода, установленного на металлических линзах с минимальным углом к плоскости вибрации. Величина резонансной амплитуды магистралей с полимерными линзами на 10% меньше, чем с металлическими. Следует учитывать факт наступления резонанса при максимальной

Из рисунка видно, что при вращении ротора цапфа совершает" в вертикальной плоскости колебания с двойной частотой вращения. Эти колебания достигают наибольшей величины при равенстве скорости вращения ротора Половине критической скорости ротора на жестких опорах

этой пластинки. Предположим, что свойства материала пластинки, направление главных осей и значения главных показателей преломления не меняются вдоль пути света. Пластинка разлагает свет на две плоскополяризованные составляющие, которые распространяются с разными, но постоянными скоростями по толщине пластинки. Плоскости колебания этих составляющих перпендикулярны друг другу (фиг. 1.13). Выберем следующие обозначения:

Если оптические свойства среды изменяются от точки к точке по направлению распространения света, то явление сильно усложняется по сравнению с тем, что уже нами рассматривалось, а способ его анализа в общем случае отсутствует х). Подобный случай изображается на фиг. 1.14 и 1.15. На фиг. 1.14, а схематически иллюстрируется случай, когда плоскости колебания остаются постоянными внутри среды, а относительная разность хода линейно возрастает вдоль пути света, разность показателей преломления остается постоянной и главные оси пластины сохраняют одну и ту же ориентацию вдоль всего пути света. Когда направление главных осей остается постоянным, но разность показателей преломления изменяется вдоль пути света (фиг. 1.14,6), плоскости колебания света не меняются, а относительное запаздывание определяется как интеграл запаздывания по всем точкам вдоль пути света.

Как это показано на фиг. 1.15, плоскости колебания света совпадают в каждой точке с направлениями главных плоскостей. Этот поворот плоскости колебания, могущий быть очень большим, в общем случае оказывает небольшое влияние на величину запаздывания.

Аналогичные конструкции кулисных механизмов отличаются лишь способами обеспечения вертикальных перемещений кулисы. Так, например, нижний конец кулисы может иметь палец, который входит в отверстие ползуна, перемещающегося в вертикальных направляющих, или может свободно проходить через втулку, имеющую ось, около которой втулка может поворачиваться в плоскости колебания самой кулисы. 88

где х и у — компоненты, параллельные соответственно главным осям 01 и 011 пластинки (фиг. 181,6); а0—амплитуда в падающей на пластинку (модель) волне плоско поляризованного света; а — угол наклона плоскости колебания света, поступающего от Р, с направлением 01 главной оси пластинки в точке 0\

гий поворот его на угол ч/, JP — момент инерции площади основания фундамента относительно оси, проходящей через центр тяжести основания, перпендикулярно к плоскости колебания.

Рассмотрим один сомножитель ш — Ау и выясним, как меняется его аргумент при изменении со от —со до +оо. На плоскости комплексного переменного корень Я,- представляется фиксированной точкой, а гю —точкой, расположенной на мнимой оси и при

Пусть в плоскости комплексного переменного р задана некоторая ориентированная кривая L и на ней — функция комплексного переменного F (р). Интегралом от F (р) вдоль L называют [58]

Точки плоскости комплексного переменного, в которых нарушается аналитичность функций, называются особыми. Точка а называется изолированной особой точкой функции F (р), если существует окрестность 0 <С р — а \
Лемма. Если функция F (р) равномерно непрерывна в плоскости комплексного переменного р и F (р) —• 0 равномерно относительно аргумента р при р —» оо, то интеграл

Очевидно, что граница устойчивости будет соответствовать вещественным значениям частоты [г, ибо в плоскости комплексного (J. вещественная ось разделяет области положительной и отрицательной величины затухания. Значит, уравнение (3. 88) для границы устойчивости должно решаться при вещественных значениях ц и в то же время величина к тоже должна быть вещественной. Приняв это во внимание, можно отделить вещественную часть от мнимой и тогда уравнение (3. 88) можно разбить на два уравнения:

Функция /(г) называется аналитической, или голоморфной, в точке г, если всюду в окрестности этой точки она имеет производную. «Функция f(z) аналитична в некоторой области плоскости комплексного переменного г, если в каждой точке этой области она имеет производную.

Функция /(г) называется целой, если она аналитична во всей плоскости комплексного

Обычно анализ устойчивости в той или иной форме выполняется путем изучения положения вектора, характеризующего положение корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного. Алгебраические критерии устойчивости обеспечивают этот анализ косвенно в форме анализа знака определителя, образуемого из коэффициентов соответствующего дифференциального уравнения. Частотные критерии связаны с построением годографа вектора Михайлова А (/(о), получаемого путем подстановки s = /<о в характеристическое уравнение.

и будем ее интегрировать по периметру С полукруга, составленному из отрезка оси х (с концами в точках — К я + К] и полуокружности С1 (с радиусом #>»«). Функция / (z) будет аналитической во всей плоскости комплексного переменного за исключением точки ai, где она имеет простой полюс (так как при z = ai, / (г) — со). По теореме о вычетах имеем

и будем ее интегрировать по периметру С полукруга, составленному из отрезка оси х (с концами в точках — R и + /?) и полуокружности С' (с радиусом /? > а). Функция / (2) будет аналитической во всей плоскости комплексного переменного за исключением точки ш, где она имеет простой полюс (так как при z — ш, / (z) = oo). По теоре.\:е о вычетах имеем

Годограф линейной части системы на плоскости комплексного переменного представляет собой некоторую кривую, которая для разомкнутого гидропривода начинается с действительной оси на правой полуплоскости и при и ->- оо приходит в начало координат. В случае астатизма первого порядка годограф начинается в начале координат и образует замкнутую кривую, а в случае астатизма второго порядка при аналогичной конфигурации имеет выпуклую часть в левой полуплоскости.