Плоскости перпендикулярные

Для системы (3.4), содержащей лишь один параметр К, пространство параметров представляет собою прямую, а бифуркационные значения К = KI — точки, разбивающие эту прямую на области, в каждой из которых изменение параметра К не приводит к изменению фазового портрета. Если система (3.4) содержит два параметра К и jj,, тогда пространством параметров будет плоскость, разделенная на области одинакового поведения системы при помощи бифуркационных кривых. Зная структуру разбиения фазового пространства для какой-нибудь точки плоскости параметров А,ц можно, непрерывно перемещаясь в этой плоскости, найти структуру фазового пространства для любой другой точки плоскости параметров. При этом нужно знать лишь характер бифуркации, которая происходит в фазовом пространстве при переходе той или другой бифуркационной границы. В этом заключается эвристическая ценность теории бифуркаций [7].

с текущим параметром у%. Уравнения (3.12) определяют на плоскости у0х№ другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров у0,х{} на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область / соответствует наличию одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости; область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса; области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки.

Число различных областей и взаимное расположение кривых (3.10) и (3.12) на плоскости у0х0 зависят от значений параметров К и р\ Случай разбиения плоскости параметров г/0, х0, изображенный на рис. 3.8, заведомо осуществляется при значениях Я, р1, удовлетворяющих неравенству р ^> Я2. Рассмотрим этот случай подробнее и выясним, какие из особых траекторий, кроме состояний равновесия, могут быть на фазовой плоскости ху при различных значениях параметров х0, уи.

бифуркации на этой плоскости параметров х0, у0 определяется знаком некоторого выражения а3, называемого ляпуновской величиной. Для рассматриваемого состояния равновееия а3 >> 0, поэтому, когда особая точка из неустой-ч'ивой превращается в устойчивую, то при этом из нее рождается неустойчивый предельный цикл. При удалении от границы в область / неустойчивый и устойчивый циклы сливаются и затем исчезают. Условие исчезновения предельных циклов определяет в области / рис. 3.8 границу между описанными выше случаями, которые изображены на рис. 3.9, а и рис. 3.9, б. При переходе из области 2 в область 5 через границу А — 0 вблизи острия клина или через само остриё неустойчивая особая точка — узел распадается на три особые точки: одно седло и два неустойчивых узла. Все они вказываются внутри предельного цикла (рис. 3.11). Нетрудно показать, что предельный цикл не сохраняется для всех значений параметров .v(), y0 внутри кривой А — 0. В самом деле, предельный цикл заведомо

В качестве примера на рис. 4.45 приведено разбиение плоскости параметров ф2 — g2, ) при фиксированных значениях

Подведем некоторый итог. Ради определенности пусть для рассматриваемого нами седлового равновесия при (j, = 0 и К — 0 седловая величина о < 1. Тогда при возрастании А, вдоль оси \i — 0 появится устойчивый предельный цикл с некоторой областью притяжения. Исходя из точки Я > 0, fi = 0, будем увеличивать ц. При этом предельный цикл превратится сначала в устойчивый обычный синхронизм. Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р~ = 0 в область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров К, \л в окрестности точки А = ц, = 0 очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении Я в сторону возрастания вдоль оси j, = 0 число вращения у монотонно убывает от значения *) у = оо. Сказанное основывается на предположении об общем характере бифуркаций и полученных ранее сведениях о точечном отображении Г2Я, согласно которым между

Используя метод .D-разбиения [З], получаем области устойчивости в плоскости параметров Та — Тс (рис. 4). Справедливость полученного разбиения подтверждается расчетом по нелинейной модели (3) вблизи границы устойчивости: при переходе через границу устойчивости регулирование становится неустойчивым, но ограниченным по амплитуде за счет ограничения хода регуляторов.

Рассматривается низкочастотная устойчивость газового привода гидравлической системы питания. Сделан расчет выхода на решим, проведено сравнение с экспериментом и построены области устойчивости в плоскости параметров системы регулирования. Справедливость полученной границы устойчивости проверена на нелинейной модели.

Анализ показывает, что для большинства машинных агрегатов (при реально мыслимых параметрах) v > 0, и области существования корней располагаются в правой полуплоскости (рис. 29). Для рассматриваемого характеристического уравнения четвертого порядка можно в плоскости параметров а, р выделить четыре области: / — корни pj (/= 1, 2, 3, 4) комплексные (попарно сопряженные); // — корни pli2 вещественные, /?3,4 комплексно-сопряженные; /// — корни р12 комплексно-сопряженные, корни /?3>4 — вещественные; IV — корни р{ (/ = = 1,2, 3, 4) вещественные.

где ^oi> ^02, ai и а2 —параметры траектории на плоскости параметров R\ (t) = Rol + att2 и R2 (t) = /?02 + a2t2, a DI, Z)II и Dili — подсектора области ?> (рис. 2.46). Как видно из формулы (2.95), определение р2(т) даже для такого простейшего устройства, каким является

Границы области устойчивости на плоскости параметров Ь, со, соответствующие этому уравнению, будут такие (см. рис. IV.8):

Поверхность, на которой нужно сверлить отверстие, должна быть перпендикулярна к его оси, иначе (рис. 6.47, г) может произойти поломка сверла. С этой целью на цилиндрических поверхностях литых деталей необходимо предусматривать плоскости, перпендикулярные к оси отверстия (рис. 6.47, д), а на заготовках из проката фрезеровать уступы (рис. 6.47, е).

где Fyz, Fxz и Fxv —• модули проекций сил на плоскости, перпендикулярные той оси, относительно которой определяется момент *;

ской системы- две условные плоскости, перпендикулярные оптической оси системы, оптически со-

Плоскости, перпендикулярные главным направлениям, т. е. диагоналям прямоугольника, при деформации перемещаются поступательно, при этом векторы их упругих смещений коллинеарны векторам главных напряжений. Поэтому сдвиги на главных направлениях отсутствуют.

6. При движении твердого тела плоскости, перпендикулярные к траекториям точек, лежащих в одной плоскости, проходят через одну точку. Плоскости, перпендикулярные к траекториям точек, лежащих на одной прямой D, проходят через одну прямую Д. Плоскости, перпендикулярные к траекториям точек, лежащих на поверхности порядка т, огибают поверхность класса т (Шаль). (Эти свойства непосредственно вытекают из свойств плоскостей и их фокусов, указанных в п. 17.)

7. Плоскости, перпендикулярные к траекториям двух произвольных точек а и Ь тела, пересекают мгновенную винтовую ось D в двух точках a и р, являющихся основаниями перпендикуляров, опущенных из а и Ъ на указанную ось, так что

Поверхность, мысленно проведенная в напряженном теле, во всех своих точках касающаяся главных площадок с одноименными главными напряжениями (аь или а,2, или сг3), называется изостатической. Через каждую точку напряженного тела проходят три ортогональные (в силу ортогональности главных напряжений) изостатические поверхности. Тремя системами изостатических поверхностей все тело разбивается на бесконечно малые криволинейные шестигранники, касательные плоскости к граням которых совпадают с главными площадками. При изменении нагрузки изостатические поверхности изменяются. В случае, когда напряжения зависят лишь от двух координат точек тела, например от х и у, и не зависят от г, одна из систем изостатических поверхностей превращается в плоскости, перпендикулярные оси г, а две другие представляют собой цилиндрические поверхности, ортогональные указанным плоскостям и ортогональные между собой. Следы, оставляемые этими поверхностями на плоскостях, перпендикулярных г, называются изостатами или иначе траекториями главных напряжений.

На рис. 13.51, б, г, е изображены проекции участка (01) до и после поворота на плоскости, перпендикулярные той оси, относительно которой произошел поворот. Поскольку ось участка (01) совпадает с направлением ?1а, проекции участка (01) на оси xlt xz, x9 оказываются соответственно равными выражениям «!/!,!, %/%!, s^!, а проекции О Г этого же участка стержня на коорди-

Для этого можно выбрать в зависимости от конфигурации детали две любые плоскости, перпендикулярные к оси вращения; однако целесообразно выбирать их на максимальном расстоянии одна от другой и силы Ri и R2 на максимальном расстоянии от оси вращения. Такие условия при данной величине дисбалансов дают корректирующие силы (веса) наименьшей величины.

Теорема. Если заданы единичные векторы et и е% осей и углы Ф! и ф2 последовательных поворотов тела, то ось результирующего поворота, эквивалентного этим двум поворотам, получается следующим построением. Через точку О пересечения осей ег и е% проводим две плоскости, перпендикулярные к этим двум векторам. В первой плоскости проводим луч, образующий с ребром пересечения плоскостей угол —
Если через произвольную точку М пространства провести плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу, Ог, и обозначить через И], /42, АяФиг. 121. точки пересечения этих