Плотность поверхностной

где Э - плотность потенциальной энергии; VM - объем материала конечного элемента.

Для плоско-напряженного состояния плотность потенциальной энергии равна:

При этих превращениях энергия перемещается и в пространстве: когда вся энергия превратилась в потенциальную, то преобладающая часть ее сосредоточена вблизи пучности деформаций (так как плотность потенциальной энергии пропорциональна квадрату деформаций); когда через четверть периода вся энергия превращается в кинетическую, то преобладающая часть ее оказывается сосредоточенной вблизи пучности скоростей (так как плотность кинетической энергии пропорциональна квадрату скоростей частиц). Таким образом, в течение четверти периода преобладающая часть энергии перемещается от одной пучности к другой, т. е. на расстояние порядка четверти длины волны; но если энергия перемещается на расстояние порядка Х/4 за время Т/4, то скорость перемещения энергии v1 azk/T. Значит, скорости перемещения энергии в пределах участка стержня длиной Х/4, в котором она заключена, имеют тот же порядок величины, что и скорости распространения по стержню бегущей волны и течения энергии в этой волне.

Но в каждой точке волны соблюдается соотношение (20.5) между с, w и т). Подставляя в него значение с из (20.8) и сопоставляя с (20.11) и (20.12), убеждаемся, что иц = ит, т. е. плотность потенциальной и кинетической энергии в каждой точке звуковой волны одна и та же.

2) момент начала роста трещины определяется критической интенсивностью потенциального поля 5Кр (где \л = = SKp/Y = —(^; ц — плотность энергии деформации, a \ip —• плотность потенциальной энергии).

Рассмотрим трехслойную пластину (рис. 5.6), подвергающуюся изгибу. Воспользуемся энергетическими оценками 111]. Представим плотность потенциальной энергии деформации слоя заполнителя в следующем виде:

Принимая во внимание полученные оценки для напряжений и деформаций в слое заполнителя [см. (5.5) — (5.8)1, плотность потенциальной энергии заполнителя можно представить в виде

Острый край микротрещины является концентратором напряжений, что может привести к дальнейшему продвижению этого края и увеличению ее длины. Процесс развития трещины в наиболее простом варианте для линейно-упругого изотропного материала был рассмотрен Гриффитсом. При одноосном растяжении напряжением с? полосы единичной толщины из материала с модулем Юнга Е плотность потенциальной энергии ее упругого деформирования будет az/(2E). Пусть в полосе перпендикулярно к действующему напряжению возникла трещина длиной L, малой по сравнению с шириной полосы (рис. 2.43). Появление трещины приведет к перераспределению напряжений: они повысятся у ее краев и упадут до нуля на свободной поверхности трещины. Потенциальная энергия полосы в целом понизится. Уменьшение потенциальной энергии можно найти из решения задачи теории упругости о растяжении достаточно широкой полосы с поперечной трещиной [40]. В итоге получается, что это уменьшение

Рассмотрим трехслойную пластину (рис. 5.6), подвергающуюся изгибу. Воспользуемся энергетическими оценками 111]. Представим плотность потенциальной энергии деформации слоя заполнителя в следующем виде:

Принимая во внимание полученные оценки для напряжений и деформаций в слое заполнителя [см. (5.5) — (5.8)1, плотность потенциальной энергии заполнителя можно представить в виде

Воспользуемся энергетическими оценками для многослойной пластины [8], подвергающейся поперечному изгибу. Представим плотность потенциальной энергии деформации многослойной пластины в виде суммы трех слагаемых з

Подобное условие получается с использованием энергетического подхода Гриффитса, согласно которому трещина переходит в неустойчивое состояние, когда скорость высвобождения упругой энергии (dW) при образовании трещины в пластине превзойдет прирост поверхностной энергии^!!). В период устойчивого роста трещины, освобождаемая потенциальная энергия расходуется на образование новой поверхности трещины: dW = dll = 4yd I, где у - плотность поверхностной энергии (работа, необходимая для образования единицы свободной поверхности). Освобождаемая энергия W пропорциональна объему полости, образованной трещиной и средней энергии деформации:

Подставив это значение в условие неустойчивости Гриф-фитса, можно показать, что критическая длина трещины с учетом пластичности металла примерно на три порядка больше, чем для хрупкой модели (для которой (кр достигает нескольких микрон). Так как упп»Уу (уу - плотность поверхностной энергии при развитии хрупкой трещины), то уравнение Гриффитса можно представить в виде:

где уо - плотность поверхностной энергии; р; - напряжение на площадках (совпадающих с поверхностью трещины), возникающее от действия заданных нагрузок на сплошное тело и взятое с обратным знаком; щ - перемещение точек поверхности трещины от действия на нее на-

где Г = Го + Гр - энергия разрушения, равная сумме поверхностной энергии и работы, затраченной на пластическую деформацию. Соответственно, условие (3.31) сохраняется с заменой уо на у = уо + ур. Таким образом, в этом случае плотность поверхностной энергии формально увеличивается на некоторую величину, оставаясь постоянной материала. По экспериментальным оценкам эта добавочная величина на два-три порядка превышает плотность поверхностной энергии. По одной теоретической

где, как всегда, f — плотность поверхностной энергии. С учетом формулы (10.8) условие (10.9) принимает вид

где Мир- молекулярная масса и плотность поверхностной пленки АХ0", А - площадь поверхности; v - шероховатость поверхности.

где W — работа внешних сил, U — энергия, накопленная в теле, •у — плотность поверхностной энергии, соответствующая dA. Определение отдельных членов соотношения (5) проводится по двум общим правилам: значения dW и dU определяются механическим состоянием материала и величина -у оценивается на основе физиче-

Здесь 2/ • 1 — суммарная площадь противоположных берегов трещины, имеющей длину /. Величина у — плотность поверхностной энергии. Подставляя (8.49) и (8.50) в (8.48'), получим

Ирвин и Орован ввели в теорию, вместо имеющейся у Гриффитса Y — плотности энергии, соответствующей силам поверхностного натяжения, величину 7эфФ — эффективную плотность поверхностной

Плотность поверхностной энергии 577

Подобное условие получается с использованием энергетического подхода Гриффитса, согласно которому, трещина переходит в неустойчивое состояние, когда скорость высвобождения упругой энергии dW при образовании трещины в пластине превзойдет прирост поверхностной энергии с1П. В период устойчивого роста трещины освобождаемая потенциальная энергия расходуется на образование новой поверхности трещины: dW = dll = 4yd/, где у - плотность поверхностной энергии (работа, необходимая для образования единицы свободной поверхности). Освобождаемая энергия W, пропорциональная объему полости^ образованной трещиной, и средней энергии дефор-