Плотностей излучения

с величинами поверхностных плотностей эффективного и падающего излучения:

ных значений плотностей эффективного излучения Ё6^ вида

Найдя из решения системы (8-81) приближенные значения локальных плотностей эффективного излучения Е°Эф(М{) в фиксированных точках М{ (t=il, 2, ... . . ., п) излучающей системы, можно определить и приближенное значение Ё°Эф(М) для любой точки М. С этой целью можно использовать уравнения (8-80) в качестве интерполяционного выражения, заменяя в нем фиксированную точку Mi произвольной точкой М и подставляя под знак суммы найденные приближенные значения Е°ЭФ(МЗ) для фиксированных точек. В результате этой операции получаем:

облученности cp°(M, F°h) должны быть предварительно вычислены для всех выбранных точек и зон, «а которые разделена излучающая система. Найдя описанным способом все значения гэ°(М, FJ,) по (8-98), рассчитывают величины локальных плотностей эффективного излучения ?°Эф(М), а затем и всех других, подлежащих определению плотностей излучения.

Если рассматривать ту же самую непрерывно-дискретную фундаментальную постановку задачи для п изотермических и оптически однородных зон, то в соответствии с принятыми условиями коэффициенты распределения ?г, gj <и Yjt (i, 7=1, 2, ..., п) по всем зонам будут равны единице. Принятие второго допущения (8-94) приводит к тому, что оставшиеся коэффициенты распределения 6jt(i, /=1, 2, ..., п) также становятся равными единице. В результате этого приходим к системе алгебраических уравнений (8-27), составленной для средних плотностей излучения по зонам при условии равенства единице всех коэффициентов распределения. Преобразуя (8-27) относительно плотностей эффективного и собственного излучения, получаем систему уравнений:

Решение системы (8-101) с использованием теоремы Крамера дает выражения для средних плотностей эффективного излучения по зонам:

Подставим найденные средние по зонам значения величин ?°Эф, j согласно (8-103) в (8-85), в результате чего получим формулу первого приближения для вычисления локальных плотностей эффективного излучения по классическому методу:

Для определения средних плотностей эффективного излучения по зонам излучающей системы воспользуемся выражением (8-91) для локальной величины Е°Э$(М) в рассматриваемой точке М. Проинтегрируем это выражение отдельно в пределах каждой зоны i (i=-l, 2, ..., п) ло обобщенной поверхности F°i и разделим затем полученный результат на величину F°{. В результате получим систему выражений для определения средних величин:

и поверхностных плотностей эффективного и результирующего излучения, имеет вид:

Аппроксимируем уравнение (10-11) системой линейных алгебраических уравнений для средних плотностей излучения аналогично тому, как это делалось в зональном методе. С этой целью объем среды V разбивается на п\ дискретных объемов, а граничная поверхность F, замыкающая данный объем, — на п2 дискретных участков. Полное число получаемых в результате такого деления зон п будет соответственно равно ni + n2. С известным приближением принимается, что все коэффициенты распределения различных величин по зонам равны единице, т. е. считается, что величины объемных и поверхностных плотностей эффективного и равновесного излучения, а также оптические параметры а', (5 и «остаются постоянными в пределах каждой объемной или поверхностной зоны.

Из рассмотрения (11-1) становится очевидным, что поля поверхностных плотностей эффективного и падающего излучения в рассматриваемой системе не изменятся, если на той части поверхности (F%), где по условию задается величина Ереа, отражательная способность станет равна единице, а поверхностная плотность собственного излучения — заданной плотности результирующего излучения, взятой с обратным знаком [Е*(М) = = — ?реа(М)]. Следовательно, если на всей поверхности Р2 величина Ерез(М) <0 (поверхность отдает тепло в результате радиационного теплообмена), то заданное распределение плотности результирующего излучения на световой модели можно воспроизвести соответствующим распределением светимости этой поверхности, сделав ее отражательную способность по возможности близкой к единице (г~1). Этот прием позволяет задавать граничные условия второго рода на световой модели. Однако он ограничен условием ?pe3(Af)<0, так как светимость поверхности, являющаяся в данном случае аналогом ( — ?рез), всегда есть положительная величина. Естественно, что некоторую погрешность при этом вносит и отличие реальной отражательной способности поверхности световой модели, на которой задается Ерез, от единицы, так как по физическим причинам невозможно создать абсолютно отражающую поверхность. Тем не менее описанный прием задания «а световой модели граничных условий второго рода в целом ряде случаев может оказаться удобным и эффективным.

В отношении задания граничных условий в самой среде дело обстоит гораздо сложнее. Если для поверхностей модели граничные условия первого рода моделируются сравнительно просто и основные затруднения связаны с заданием граничных условий второго рода, то для среды задание любых граничных условий встречает значительные трудности. Сравнительно просто удается моделировать в ослабляющей среде лишь состояние локального радиационного равновесия (divqp='0). В этом случае, если индикатриса рассеяния среды в исследуемой системе является сферической, подобие полей объемных плотностей эффективного и падающего излучения достигается путем применения в модели чисто рассеивающей среды также со сферической индикатрисой рассеяния. При этом критерий Бугера в образце, подсчитанный по коэффициенту ослабления реальной

б) Виды поверхностных плотностей излучения. Рассмотрим различные виды поверхностных плотностей излучения, которые характеризуют собой процесс радиационного теплообмена на поверхности тела, являющейся границей раздела двух сред.

в) Виды объемных плотностей излучения. Аналогично перечисленным поверхностным плотностям излучения величины, характеризующие процесс радиационного теплообмена внутри среды, носят название объемных плотностей излучения.

а) Закон Кирхгофа для поверхности. Рассмотрим закон Кирхгофа для поверхности твердого тела, находящегося в состоянии термодинамического равновесия с падающим на него излучением. С этой целью поместим рассматриваемое тело в термодинамически равновесную систему, заполненную средой и имеющую температуру Т. В условиях равновесия количества поглощаемой и испускаемой поверхностью тела энергии излучения будут равны и для спектральных и полных поверхностных плотностей излучения должны выполняться соотношения:

б) Закон Кирхгофа для среды. В термодинамически равновесной системе, заполненной ослабляющей средой, количества поглощаемой и испускаемой каждым элементарным объемом энергии в точности равны друг другу. Поэтому для спектральных и полных объемных плотностей излучения можно написать:

Поиски эффективных путей решения уравнений радиационного теплообмена привели к созданию различных приближенных методов расчета. Все эти методы исходят из рассмотренного в гл. 3 уравнения переноса излучения с соответствующими граничными условиями к нему. Проведя то или иное интегрирование уравнения переноса излучения и граничных условий, можно получить либо дифференциальные, либо интегральные уравнения, описывающие процесс радиационного теплообмена в различных постановках. При этом в результате интегрирования уравнения переноса и граничных условий по телесному углу в получаемых дифференциальных и интегральных уравнениях в качестве неизвестного фигурирует уже не интенсивность излучения, а различные виды объемных и поверхностных плотностей излучения. Одновременно с этим в этих уравнениях появляются различные коэффициенты переноса, зависящие от распределения интенсивности излучения по различным направлениям, которое заранее неизвестно. Поэтому в отношении этих коэффициентов переноса принимаются те или иные допущения, вследствие чего такие расчетные методы и носят название приближений. Точность, с которой можно оценить неизвестные заранее коэффициенты переноса, определяет собой погрешности приближенных методов. Следует, однако, заметить, что в принципе, сочетая уравнения приближенных методов и интегральное выражение для интенсивности излучения (3-26), можно итерационным путем получить решение задачи с любой степенью точности. К тому же, как показывает анализ, неизвестные коэффициенты переноса во многих случаях являются сравнительно слабоизменяющимися функциями и их можно оценить заранее с приемлемой точностью. Исторически первым был соз-

ных и поверхностных плотностей излучения. Приближенный характер получаемых дифференциальных уравнений обусловлен наличием в них коэффициентов переноса, которые заранее неизвестны >и определяются с той или иной степенью приближения. Благодаря своей относительной простоте дифференциальные методы получили очень широкое распространение в теории теплообмена излучением и с их помощью были решены многие важные теплотехнические задачи.

Уравнения энергии для среды и поверхности, связывающие различные виды спектральных объемных и поверхностных плотностей излучения, записываются, как следует из (3-21) и (3-22), следующим образом:

Как было показано выше, процессы радиационного теплообмена описываются системами интегральных уравнений, составленными относительно объемных и поверхностных плотностей различных видов излучения. При этом искомые величины плотностей излучения в объеме и на граничной поверхности имеют различные единицы измерения и различный физический смысл, а сами уравнения содержат два интеграла (по граничной поверхности и по объему среды). Отмеченные особенности рассмотренных интегральных уравнений, а также тот факт, что приходится иметь дело не с одним, а с системой двух уравнений, существенно осложняют проведение анализа и выполнение теоретических решений на базе интегральных уравнений.

Проведя преобразования (7-41) с объемными плотностями всех видов излучения, можно составить систему аналогов величин поверхностных плотностей излучения относительно граничной поверхности и эффективной поверхности частиц в объеме. Эта система аналогов приводится в табл. 7-1, в которой величина Е° обозначает обобщенную поверхностную плотность соответствующего вида излучения в системе. В зависимости от

Первый, так называемый классический подход в методах алгебраического приближения характеризуется тем, что алгебраической аппроксимации подвергается непосредственно исходное интегральное уравнение радиационного теплообмена, составленное для любого вида плотностей излучения. Для определения средних по дискретным участкам излучающей системы плотностей излучения подобная аппроксимация, по-видимому, впервые была применена О. Е. Власовым [Л. 100] при решении частной задачи переноса излучения в каналах с адиабатическими стенками. В дальнейшем эта идея была развита и обобщена для произвольного числа серых диффузных поверхностей, разделенных диатермической средой, и для систем с поглощающей средой в работах Г. Л. Поляка [Л. 19, 93, 130].

При первом подходе для определения локальных плотностей излучения непосредственно используется метод алгебраической аппроксимации интегральных уравнений радиационного теплообмена, изложенный в гл. 7. Для этого в исследуемой системе выбирается определенное число узловых точек и исходное интегральное уравнение аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу узловых точек. Этот метод определения локальных плотностей излучения был использован при решении различных задач радиационного теплообмена и дал положительные результаты [Л. 60, 354, 355, 367].