Плотности равновесного

Если функцию плотности распределения р(ас) выразить через фрактальную размерность D в виде

Для решения этой задачи необходимо иметь данные о характере распределения числа элементов по определяющему геометрическому параметру (пролет, высота здания и т.д.) и плотности распределения повторяемости расчетных нагрузок. Кроме этого необходимо знать предельно допустимое относительное превышение расхода стали на типовые конструкции по сравнению с индивидуальными и закономерности изменения массы (стоимости) типовых конструкций в зависимости от изменения нагрузки.

Напомним ряд формул из теории вероятностей. Рассмотрим непрерывную случайную величину X, принимающую значения только из промежутка [а, Ь] и имеющую функцию плотности распределения вероятности р (х), а также вторую случайную величину Л, связанную с X функциональной зависимостью Л. = гэ (X). Математическое ожидание величины Л' —Е {X} рассчитывается по формуле

Такая трактовка позволяет указать оригинальный способ вычисления интеграла (6.17). Вспомним, что в математической статистике математическое ожидание случайной величины оценивается по среднеарифметическому значению из совокупности результатов ее наблюдений, которые берутся из эксперимента. В методе Монте-Карло применяется такая же оценка, но результаты наблюдений берут не из эксперимента, а получают путем статистического моделирования на ЭВМ. Для этого реализуется специальная процедура генерирования последовательности значений независимых реализаций jCj, ..., XN случайной величины X с функцией плотности распределения р (х). Имея набор хг, ..., XN, рассчитывают значения Я,, ..., XN реализаций случайной величины Л: Я,,- = f(xt)/p(xt) и далее находят оценку математического ожидания Л по формуле

Таким образом, погрешность формулы (6.22) можно уменьшать не только за счет увеличения N, но и за счет понижения а {А}. Второй путь можно реализовать специальным выбором функции плотности распределения р (х).

Остановимся для примера на расчете рассмотренного выше углового коэффициента ФЛВ-CD (см. рис. 6.6) методом Монте-Карло. В качестве случайного вектора X здесь выступает совокупность двух значений координат (х, у). Для получения простейшей функции плотности распределения р (х, у) можно принять, что компоненты х и у статистически независимы и равномерно распределены на соответствующих интервалах своего изменения [а, Ь] и [с, d\:

Сложней обстоит дело с выбором случайного значения полярного угла 0, так как его величина должна быть распределена на интервале [0, я/2] с функцией плотности распределения вероятности / (Э), пропорциональной sin 9 cos 0, т. е.

Постоянную с найдем из условия нормировки функции плотности распределения вероятности:

Рис. 16.1. Кривые плотности распределения переменных напряжений и пределов выносливости

На рис. 16.1 в качестве примера показаны кривые плотности распределения переменных напряжений ст„ в наиболее нагруженной точке детали (кривая 1) и пределов выносливости детали сг_1д (кривая 2). Переменные напряжения в детали в процессе работы определяют с помощью тензометриро-вания. Рассеяние рабочих напряжений вызвано колебаниями нагрузки при работе машины.

Таким образом, задачу определения различных видов дефектов можно свести к определению соответствующих изменений плотности распределения пучка рассеянного излучения путем так называемой пространственной фильтрации. Рассеянное излучение пропускается через фильтр с различной по сечению пропускающей способностью. Он задерживает или ослабляет большую часть лучистого потока, отраженного от нормальной поверхности, а лучи, отраженные от поверхности дефектов, пропускает на приемник излучения. Фильтр может также использоваться для определения вида дефектов, так как позволяет подавлять лучи, отраженные от дефектов, дающих одну плотность распределения рассеянного излучения, и усиливать лучи, идущие от дефектов, дающих другую плотность распределения. Можно также подавлять лучи от дефектов, поглощающих излучение, и усиливать лучи от дефектов, рассеивающих излучение, или наоборот.

Изотропность равновесного излучения позволяет установить однозначную связь спектральной поверхностной плотности равновесного излучения EQv, а также спектральной объемной плотности энергии равновесного излучение t/0v со спектральной интенсивностью равновесного излучения /Ov. Эти величины на основании (1-78), (1-82) и (2-4) получаются следующими:

На основании приведенного анализа было показано, что спектральная интенсивность равновесного излучения в вакууме является универсальной функцией частоты и температуры согласно (2-5), а полная интенсивность равновесного излучения /о определяется только температурой равновесной системы и является ее универсальной функцией согласно (2-8). Количественная зависимость полной объемной плотности равновесного излучения от температуры была найдена экспериментально в 1879 г. Стефаном [Л. 318) и теоретически — в 1884 г. Л. Больцманом [Л. 319], вследствие чего она и получила название закона Стефана — Больцмана. В дальнейшем эта найденная зависимость была подтверждена точными экспериментальными измерениями, а также была получена как следствие закона Планка.

Исходя из термодинамических соображений рассмотрим вывод закона Стефана — Больцмана, дающего зависимость интегральной объемной плотности равновесного излучения в вакууме от температуры системы.

Закон Стефана — Больцмана устанавливает четкую зависимость (2-31) полной объемной плотности равновесного излучения от температуры. Однако он не раскрывает выражения универсальной функции спектральной интенсивности равновесного излучения (2-5) в зависимости от частоты и температуры. Попытки решения этой фундаментальной задачи теории теплового излучения предпринимались многими исследователями (Ми-хельсон, Рэлей, Джине, Тизен, Абрахам и др.). Все эти решения хотя и имели важное значение для прогресса науки в рассматриваемой области, однако не дали окончательного и полного решения проблемы, которое было получено в 1900 г. М. Пданком.

а) Закон смещения Вина. В 1893 г. Вин [Л. 320, 321] сделал важный шаг в решении задачи распределения спектральной плотности равновесного излучения, установив известный закон смещения. Полученная Вином зависимость частично раскрывает характер неизвестной функции (2-5) и позволяет найти длину волны излучения, для которой спектральная интенсивность равновесного излучения будет иметь максимальное (для данной температуры) значение.

излучение все время будет сохранять равновесный характер. Принимая во внимание изменение объема полости при сжатии и учитывая изменение частоты излучения при отражении от движущегося зеркала за счет эффекта Допплера, Вин получил функцию распределения спектральной объемной плотности равновесного излучения:

рой и будет соответствовать максимум спектральной объемной плотности равновесного излучения ?/0 v

Для того чтобы определить конкретные значения Л,Макс при задании различных температур Т, необходимо знать величину Ь, называемую постоянной Вина. Однако ее численное значение не может быть определено на основании написанных выше уравнений, так как сам вид функции f(c/KT) остался неизвестным. Поэтому нахождение b может быть осуществлено экспериментальным путем на основании опытных данных по распределению спектральной объемной плотности равновесного излучения по длинам волн, полученному для какой-либо температуры. Теоретические исследования Планка, предпринятые на принципиально новой основе, позволили в дальнейшем найти конкретный вид функции f(v/T) и произвести независимое определение Ь. В соответствии с современными данными ее значение равно:

Используя соотношение c=A/v, на основании (2-45) нетрудно составить выражение для спектральной объемной плотности равновесного излучения, отнесенной к единице частотного интервала:

Помимо решения Вина были предприняты и другие попытки найти распределение спектральной плотности равновесного излучения, исходя из соотношений классической электродинамики. Такой подход был осуществлен Рзлеем [Л. 323] и Джинсом [Л. 324]. Рассматривался газ, находящийся в состоянии термодинамического равновесия и представляющий собой совокупность огромного числа гармонических осцилляторов, излучающих энерлию для всех длин волн. В соответствии с законами электродинамики количество энергии, излучаемой гармонически колеблющимся осциллятором в единицу времени, равно:

устанавливающую точную зависимость спектральной объемной плотности 'равновесного излучения от частоты и температуры.