Подынтегральных выражениях

Равенство (14.11) справедливо для любого произвольно выбранного объема, поэтому подынтегральные выражения также равны друг другу. Тогда

где через <р и <р* обозначены действительные поля в конструкциях 2 и 2* соответственно. В дальнейшем подынтегральные выражения в (4) для краткости мы будем обозначать через F и F*. Если действительное поле ср для конструкции 2 можно должным образом продолжить в область V0, которая содержит оптимальную конструкцию и все возможные альтернативные конструкции, то это продолженное поле будет допустимым для конструкции 2*. Тогда из (1а) следует, что

Оба последних равенства должны удовлетворяться одновременно. Следовательно, их подынтегральные выражения могут отличаться друг от друга не более чем на дифференциал от какой-либо функции V, так как

Преобразуем подынтегральные выражения:

Подынтегральные выражения в (1.48) и (1.49) совпадают с точностью до множителей х и х', которые приближенно равны друг другу, а при 0^30° с достаточной точностью равны 1.

—R(x<>y0)) A$ (JcV) dy° d~xdydzdxf; их подынтегральные выражения:

их подынтегральные выражения таковы:

Подынтегральные выражения получим по формулам (2.2.24), заменяя fy13 (mnpl) их выражениями; интегралы L$} (ijkq) имеют вид:

подынтегральные выражения получим по формулам (2.2.26'), заменяя и T"f, их выражениями. Дальнейшее построение тензора проводится аналогично предыдущему случаю.

Их подынтегральные выражения определяются по формулам (2. 2. 24'), причем функции /"$ должны быть записаны в сферических координатах. Свободные члены Lp (ijkq) уравнений вычисляются по формулам (2.2.25), однако интегралы Lp' (ijkd), входящие в эти формулы, в этом случае имеют вид:

Их подынтегральные выражения определяются по формулам (2.2.26'), в которых вместо Т^ следует подставить компоненты тензора (Т0) области возмущений /, функции /™vp} должны быть записаны в сферических координатах.

и находятся в результате их решения с помощью процедуры последовательных приближений. Коэффициенты F7p (mnplijkq) уравнений (2.2.69) вычисляются по формулам (2.2.23), однако функции состояния аь а2 или а{ь), а<2й) должны соответствовать упругому или вязкому состоянию среды, скорость асд следует заменить на У<ОГ>. Свободные члены ALp (ijkq) уравнений (2.2.69) вычисляются по формулам (2.2.25), в которых следует произвести указанную замену функций состояния и скорости асд, в подынтегральных выражениях (2.2.26') необходимо заменить Г «ft на АГаР,, ис на Аис, acl} на у(0г>. Дальнейшие вычисления выполняются совершенно аналогично случаю нагрузки. В результате находим компоненты корректирующего тензора А (Тк) области возмущений // в декартовых координатах. В случае загруженной области, имеющей форму круга, для координаты z имеем:

Компоненты корректирующего тензора Д (Гк) находятся по формулам (2.2.68), однако функции /<$ (mnpt) имеют другой вид [19], так как фундаментальные функции имеют вид (2.2.47). Параметры ДЛтпрг ..... А?)тп,,г подчинены уравнениям (2.2.69) и определяются в результате их решения. Коэффициенты /%р (mnplijkq) уравнений вычисляются по формулам (2.2.23), причем функции состояния должны соответствовать упругому или вязкому состоянию среды, скорости а и асд следует соответственно заменить на & и У<ОГ>. Свободные члены ALp (ijkq) уравнений вычисляются по формулам (2.2.25) [при этом производится указанная замена функций состояния и скоростей], в подынтегральных выражениях (2.2.26') необходимо заменить Т°# на ДТ™0Р), vc — на Аус, асд на — соответственно на и(0г> и Ь. Дальнейшие вычисления выполняются в полярных координатах аналогично случаю нагрузки. В результате находим компоненты корректирующего тензора Д (Гк) области возмущений // в полярных координатах.

Коэффициенты FYp (mnplijkq] уравнений вычисляются по формулам (2.2.23), при этом интегралы имеют вид (2.3.35) с той лишь разницей, что а заменено на b и асд на i>(0r>; функции состояния alf a2 или «<*>, сс6> должны^ соответствовать упругому или вязкому состоянию среды. Свободные члены ALp (ijkq) уравнений вычисляются по формулам (2.2.25), причем^'производится указанная замена'функций состояния и скоростей, в подынтегральных выражениях" (2.2.26') необходимо заменить компоненты Т«Р на АТ1™^. Решение уравнений (2.2.69) строится * с' помощью процедуры последовательных приближений аналогично рассмотренным случаям. В результате параметры 1, ..., AI>mnpi определены, следовательно, определены и ком-

где /" (тпрГ) (Y = 1, 2, 3, 0) —• известные функции сферических координат, причем безразмерные координаты 0, <р, г, х° определяются формулами (2.2.58'). Параметры AiAmnp;, ..., &iPmnJ)l находятся в результате решения уравнений (2.3.56), коэффициенты FvP (mnpl ijkq) и свободные члены AjLp (ijkq) которых вычисляются по формулам (2.2.23) и" (2.3.25) соответственно, однако интегралы F$ имеют вид (2.2.59), а интегралы AxLp0 — вид (2.2.60), при этом в подынтегральных выражениях Т°$ следует заменить на AiT1^, для области возмущений /. В результате решения уравнений (2.3.56) находим па-

Они содержат известные функции сферических координат fj . _(/ялр/), где "0 = (9 + я/2), <р = ср/2, 7 = я (г — /чУЦа/а^) x° — rj, х° = nx°/(acq/d) h. Параметры A^mnp;, ••-. Ai^mnp; компонент корректирующего тензора подчинены уравнениям (2.3.56) и определяются в результате их решения. Коэффициенты Fy$ вычисляются по формулам (2.2.23), интегралы F$ (mnplijkq) имеют вид (2.2.59), причем 62 = я/2, q>! = 0, ф2 = 2я. Свободные члены АгЬ$ (ijkq) вычисляются по формулам (2.2.25), интегралы AiZ-p'' имеют вид (2.2.60), в их подынтегральных выражениях TfP, следует заменить . на AiT°f,. В результате будут найдены параметры ДХЛ mnpi,..., ADmnpj, следовательно, компоненты корректирующего тензора. Сумма основ-ного А! (Т0) и корректирующего Аг (Тк) тензоров есть дополнительный тензор кинетических напряжений Ах (Т) области возмущений отраженной волны нагрузки. В соответствии с (2.3.49) имеем тензор кинетических напряжений (Т)отр рассматриваемой области возмущений. Построение тензора кинетических напряжений (Т)отр области возмущений отраженной волны разгрузки проводится как и в случае нагрузки, поэтому можно считать искомый тензор для разгрузки известным.

Вычислим сначала интегралы в подынтегральных выражениях каждого из трех интегралов (3.124):

Выражения (4.4.38) и (4.4.39) отличаются от соответствующих выражений (4.4.26) для плоской задачи термоупругости лишь наличием множителя Xi в подынтегральных выражениях, поэтому если осевое сечение тела представить совокупностью треугольных конечных элементов, размеры каждого из которых малы по сравнению с его средним радиусом х\е, то нетрудно перейти от приведенных ранее соотношений МКЭ для плоской задачи к соотношениям для осесимметричной. Действительно, вместо формул (4.4.28) для элемента с номером е, площадью Ртл узлами /, т, п будет

При я=7П в подынтегральных выражениях возникают особенности и требуются специальные приемы интегрирования в окрестности узловой точки я-го граничного элемента, когда r(N,Nf,)-^, NeTn. Для прямолинейного элемента несобственные интегралы нетрудно вычислить аналитически. Криволинейный граничный элемент в окрестности узловой точки -МеГ„ можно приближенно представить прямолинейным участком Г'п , для которого интегралы нахо-

При л = т в подынтегральных выражениях возникают особенности, что требует специальных приемов интегрирования в окрестности узловой точки п-то граничного элемента, когда г (N, Nn) -*- О, N ? Гп. Для прямолинейного элемента несобственные интегралы нетрудно вычислить аналитически. Криволинейный граничный элемент в окрестности узловой точки Nn ? Г„ можно приближенно представить прямолинейным участком Г,'г, для которого интегралы находят аналитически, а на остальной части элемента, где особенности в подынтегральных выражениях отсутствуют, проводится интегрирование численно. Так как (6.46) справедливо и для частного случая перемещения тела как жесткого целого, для каждой строки матрицы [Н] сумма компонентов должна быть равна нулю. Поэтому диагональные компоненты этой матрицы можно также найти из равенства

Если на контуре имеются угловые точки, то их располагаем на стыке соседних элементов. Внутренние точки тела вращения, лежащие на оси г, не относятся к граничным и не принадлежат граничным элементам. При п — т в подынтегральных выражениях возникают особенности, вследствие чего требуются специальные приемы интегрирования в окрестности узловой точки n-го элемента, когда г (Л/, Nn) ->0 при N ? Гп [6].

Предполагается, что ребра и угловые точки на поверхности тела (если они имеются) совпадают соответственно со сторонами и углами граничных элементов, так что участок поверхности тела в пределах каждого элемента является гладким и в (1.109) Q (Nn)/(4n) = 1/2. Особенности, которые возникают в подынтегральных выражениях (6.80) при п — т, устраняем теми же путями, что и в случае плоской задачи термоупругости (см. § 6.2), причем диагональные компоненты [Н] можно найти из равенства нулю суммы всех компонентов в строке, т. е. • •