Подынтегрального выражения

Согласно (1.16), подынтегральное выражение в (1.24) равно удвоенной энергии деформаций для смещений q, — qt. Так как удельная энергия деформаций положительно определена, (1.24) требует, чтобы

По теореме Грина, представляющей собой частный случай теоремы Остроградского, можно заменить подынтегральное выражение полным дифференциалом другой функции от тех же параметров, если интеграл по контуру обращается в 0.

Подставляя в подынтегральное выражение функцию W (г) в соответствии с формулой (37), получаем окончательно

Таким образом, операция замены переменной / на t* эквивалентна подстановке в подынтегральное выражение зависимостей (62). В результате получаем

Особенность интегрального инварианта, взятого в такой форме, состоит в том, что в подынтегральное выражение уже не входит гамильтониан, и следовательно, этот интегральный инвариант оказывается одинаковым для всех динамических систем, движущихся в произвольных потенциальных полях. Последнее утверждение имеет следующий смысл. Рассмотрим какой-либо контур, лежащий

В силу произвольности контура С это равенство возможно только в том случае, когда подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, которую мы обозначим через — Я* (q, p, t). Тогда

Это равенство возможно только тогда, когда подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции

Равенство (98) должно выполняться на любом контуре С (т. е. при любом t). Это возможно лишь в том случае, когда подынтегральное выражение является полным дифференциалом, т. е. когда при любых k и v

Это равенство верно при любом выборе / и при любом выборе контура С*, а значит, и С в плоскости t = t. Поэтому оно выполняется лишь в том случае, когда подынтегральное выражение—полный дифференциал некоторой функции при t — t. Обозначим ее —F. Тогда

Зная мощность силы F, можно найти и работу, коте рую совершает эта сила за промежуток времени t. В с; мои деле, представив подынтегральное выражение в (4.2 в виде Fdr=Fvdt = Ndt, получим

Интеграл, стоящий в левой части, называется эллиптическим. Он хорошо изучен. Составлены таблицы его значений, с помощью которых можно проанализировать колебания маятника с любыми углами отклонений. Однако для не слишком больших углов целесообразно представить этот интеграл приближенной аналитической формулой, удобной для анализа. В случае sin4(a0/2)Криволинейный интеграл, по определению, не отличается от интеграла одной переменной, надо лишь разбить на участки путь интегрирования, вычислить для каждого участка величину подынтегрального выражения, а затем сумму этих величин для всех участков кривой и найти предел этой суммы при стремлении величины каждого участка к нулю, » их числа — к бесконечности.

Здесь предполагается суммирование по повторяющему индексу /, а черта над 6z* означает вариацию z* для неварьированных аргументов а:*, у*. Интеграл но контуру С в формуле (4.13) отвечает классическому выражению вариации для вариационной задачи с частными производными при переменной области интегрирования. Появление интеграла по области D обусловлено зависимостью подынтегрального выражения в (4.12) от контура области интегрирования.

Одновременно со сказанным можно добавить, что данную задачу вообще можно было рассматривать без введенных дополнительных условий. Действительно, функционал / определен на отрезке линии фиксированной длины. Варьирование траектории изменяет величину подынтегрального выражения на элементе длины, однако, поскольку интервал интегрирования остается прежним, то получаем задачу с подвижными концами при закрепленных «абсциссах».

Очевидно, что для его реализации понадобятся выражения для производных от функционала тг-го элемента /(п) по температурам его узлов uit Uj, uh. Для их получения поменяем порядок дифференцирования и интегрирования, т. е. сначала проведем дифференцирование подынтегрального выражения в (4.20), а затем вычислим интеграл по элементу от получившейся функции. При реализации этой процедуры будем использовать выражение (4.12) для распределения ы<п) (х, у], причем индекс (п) для сокращения записей опустим. Учитывая выражения (4.16) для производных, имеем

В уравнении (4.36) первое слагаемое подынтегрального выражения отражает вклад диффузионных потоков в изменение энтропии системы

В целях упрощения расчетов, учитывая малый вклад в увеличение энтропии и внутренней энергии химических реакций и поляризационных эффектов, значения 3, 6 и 7-го членов подынтегрального выражения можно приравнять к нулю, а в 4-м и 5-м слагаемых целесообразно перейти от объемных интегралов к поверхностным. Тогда получим окончательное выражение для интенсивности изнашивания:

Выражения (4.36) и (4.37) представляют термодинамическую (энтропийную) модель металлополимерной трибосистемы, рассматриваемой в качестве открытой термодинамической системы. Известно, что имеющиеся в арсенале конструкторов расчетные зависимости на износ и долговечность носят эмпирический характер и не учитывают действительную картину и природу изнашивания поверхностей трения. Предлагаемая же модель открывает принципиальную возможность оценить интенсивность изнашивания металлополимерной пары трения на этапе проектирования машины на основе закономерностей физико-химических процессов в зоне трения и физических свойств изнашиваемого материала. Для этого необходимо записать уравнения потоков энергии и вещества для каждого слагаемого подынтегрального выражения согласно физическому закону соответствующего эффекта (теплового, электрического, диффузионного) и решить эти уравнения при соответствующих начальных и граничных условиях, а также, используя выражение (4.32), определить A.V* для выбранного композиционного материала. Однако задача получения аналитического выражения для соответствующих эффектов требует проведения сложных теоретических и экспериментальных исследований и составляет одну из актуальных задач трибологии на ближайшие десятилетия.

После представления подынтегрального выражения в развернутом виде с учетом кольцевого элемента радиусом /• и шириной dr зависимость (8.7) примет вид

Когда функция <р (г;) не равна нулю, то она положительна. Вследствие этого подынтегральное выражение в Н всегда меньше подынтегрального выражения в //,; поэтому Н меньше чем Нг и точка в воздухе поднимается на меньшую высоту, чем в пустоте. Точно так же Т меньше чем 7\, и точка затрачивает меньше времени для поднятия на наибольшую высоту, чем при движении в пустоте.

где с = aja — коэффициент вариации размеров зерна, в качестве верхнего предела интегрирования вместо сю взята наивысшая возможная прочность 00. Оценка стоящего в квадратных скобках члена подынтегрального выражения, включающего нормальную функцию ошибок, показывает, что его можно представить в виде

Знаменатель подынтегрального выражения (23') представим в виде