Перемещения допускаемого

В механизмах различают помимо относительных перемещений звеньев, допускаемых геометрическими связями, также и перемещения, допускаемые податливостью (упругостью) звеньев. В первом случае говорят о структурных степенях свободы, характеризующих основное движение звеньев. Во втором случае говорят о параметрических степенях свободы, зависящих от конструктивных (масса, жесткость) параметров механизма и режима движения (в частности, частоты возбуждения). Относительное движение звена, обусловленное параметрическими степенями свободы, суммируется с основным движением звена иногда в виде фона, характеризуемого малыми перемещениями по сравнению с абсолютными перемещениями и значительными скоростями и ускорениями. Введение параметрических степеней свободы необходимо при анализе и проектировании механизмов и машин вибрационного и ударного действия, при проектировании виброзащитных устройств в случае возможности возникновения опасных колебаний, при проектировании оборудования для интенсификации и повышения эффективности технологических и транспортных операций.

Любые скорости точек, которые удовлетворяют соотношениям (59), называются возможными скоростями, а любые бесконечно малые перемещения в направлении возможных скоростей, удовлетворяющие, следовательно, соотношениям (57), называются возможными перемещениями. Таким образом, возможные скорости и перемещения — это соответственно скорости и перемещения, допускаемые наложенными на систему голономными связями.

В механизмах различают помимо относительных перемещений звеньев, допускаемых геометрическими связями, также и перемещения, допускаемые податливостью (упругостью) звеньев. В первом случае говорят о структурных степенях свободы, характеризующих основное движение звеньев. Во втором случае говорят о параметрических степенях свободы, зависящих от конструктивных (масса, жесткость) параметров механизма и режима движения (в частности, частоты возбуждения). Относительное движение звена, обусловленное параметрическими степенями свободы, суммируется с основным движением звена иногда в виде фона, характеризуемого малыми перемещениями по сравнению с абсолютными перемещениями и значительными скоростями и ускорениями. Введение параметрических степеней свободы необходимо при анализе и проектировании механизмов и машин вибрационного и ударного действия, при проектировании виброзащитных устройств в случае возможности возникновения опасных колебаний, при проектировании оборудования для интенсификации и повышения эффективности технологических и транспортных операций.

Семейства механизмов. При переходе от общего случая про-странственного механизма, для которого число степеней свободы определяется по формуле (1.1), к плоскому механизму, т.е. при переходе к формуле (1.2), иногда говорят, что на каждое звено плоского механизма общего вида наложены 3 общие связи, т. е. из 6 возможных перемещений твердого тела в пространстве остаются только 3 перемещения, допускаемые условиями плоскопарал-лелыюго движения. Тогда формула (1.2) может быть получена из формулы (1.1) вычитанием числа общих связей из коэффициентов при величинах п, pi и р2: Рис u

Это условие необходимо. Действительно, если равновесие имеет место, то каждая точка Mv находится в равновесии под действием всех приложенных к ней сил как заданных, так и реакций связей. Более точно можно рассматривать эту точку как свободную при условии приложения к ней некоторых сил Р'ч, F", .... вызванных связями. Точка будет тогда находиться в равновесии под действием заданных сил, имеющих равнодействующую /\, и реакций связей /^, F" ... Для произвольного возможного перемещения, сообщенного этой точке, сумма работ всех этих сил равна нулю. То же самое справедливо для любой точки системы, и поэтому если всем точкам системы сообщить произвольные перемещения, допускаемые или недопускаемые связями, то сумма работ всех сил как заданных, так и реакций связей будет равна нулю:

178. Случай неголономной системы. Тот же метод применим к такой системе точек, для которой возможные перемещения, допускаемые связями, определяются h соотношениями вида

184. Связи, определяемые равенствами; допускаемые перемещения, характеризуемые неравенствами. Может случиться, что система подчинена связям, определяемым равенствами, но что возможные перемещения, допускаемые этими связями, определяются неравенствами. В этом случае говорят, что система подчинена неудерживающим связям.

Представим себе, например, материальную точку, положенную на горизонтальный стол, который она может покинуть, переместившись вверх. Примем за ось Ог направленную вверх вертикаль. Предположив, что связь осуществлена, имеем 2 = 0, но возможные перемещения, допускаемые этой связью, будут таковы, что

а возможные перемещения, допускаемые этой связью, либо оставляют расстояние г равным /, либо уменьшают его:

Вообще можно представить себе систему из п точек xv yv, г.„ подчиненную таким связям, что когда они все осуществлены, возможные перемещения, допускаемые этими связями, определяются некоторыми равенствами и некоторыми неравенствами:

Полезно разбить перемещения, допускаемые связями, на две категории: 1) неосвобождающие перемещения и 2) освобождающие перемещения. Мы будем называть освобождающими перемещениями такие перемещения, для которых левые части соотношений (2) равны нулю, как и для соотношений (1):

Необходимые и достаточные условия равновесия системы заключаются в том, что для любого возможного ее перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ непосредственно приложенных сил равна нулю.

Примечание. Во всех случаях, независимо от того, будет ли точка находиться в равновесии или нет, для любого возможного перемещения, допускаемого связью, работа реакции связи, т. е. нормальной реакции, равна нулю.

В рассматриваемом случае, так же как и в предыдущем, независимо от того, будет ли точка находиться в равновесии, или нет, для любого перемещения, допускаемого связями, работа нормальной реакции связи равна нулю.

для любого перемещения, допускаемого связями, и, наоборот, если сГ равно нулю, каковы бы ни были эти произвольные величины, то необходимо, чтобы коэффициенты равнялись нулю, т. е. чтобы выполнялись условия равновесия.

Вне зависимости от того, находится ли тело в равновесии или нет, сумма работ реакций связей, которые являются здесь силами взаимодействия между точками системы, равна нулю для любого перемещения, допускаемого связями. В самом деле, пусть Mt и М2 — две точки тела, находящиеся на расстоянии г друг от друга. Точка Mt оказывает на точку М2 какое-то действие Flt направленное по М^М^, а точка М2 согласно закону равенства действия и противодействия оказывает на точку Мг равное и прямо противоположное действие Fz (п. 88, рис. 62). Эти две силы являются реакциями связи, вызванными взаимодействием обеих точек М1 и Л12, связанных между собой так, что они остаются на неизменном расстоянии друг от друга. Для того чтобы осуществить эту связь, можно вообразить, что обе точки связаны между собой твердым стержнем, лишенным массы. Условимся, как и раньше, называть алгебраическим значением силы F взаимодействия обеих точек абсолютное значение этого действия, взятое со знаком -(- или — в зависимости от того, отталкиваются точки или притягиваются. Для произвольного возможного перемещения, сообщенного обеим точкам, сумма работ обеих сил равна (п. 88)

Мы хотим доказать следующее предложение: для того, чтобы система в каком-нибудь положении была в равновесии, необходимо и -достаточно, чтобы при сообщении системе произвольного возможного перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ непосредственно приложенных сил равнялась нулю.

171. Приведение уравнений равновесия к наименьшему числу. В каждой частной системе для получения наиболее общего возможного перемещения, допускаемого связями, необходимо и достаточно

системы; их численные значения определяют положение системы. Для получения возможного перемещения, допускаемого связями, достаточно дать этим параметрам произвольные бесконечномалые

так как />„=/.,. Для того чтобы первоначальная система была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы К = 0, т. е. чтобы для любого перемещения, допускаемого связями, обращалась в нуль величина JT, что и представляет принцип возможных скоростей во всей его общности.

Необходимость условия. Для доказательства, что условие необходимо, достаточно показать, что в случае неудерживающих связей для любого перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ реакций связей либо равна нулю, либо положительна: равна нулю для неосвобождающих перемещений, равна нулю или положительна для других перемещений. В самом деле, возьмем, например, точку, положенную на некоторую поверхность, которую она может покинуть в какую-нибудь сторону. Нормальная реакция поверхности будет, очевидно, направлена в ту сторону, в которую точка может покинуть поверхность. Следовательно, если точке сообщить перемещение, при котором она покидает поверхность (освобождающее перемещение), то работа реакции будет положительна; она будет равна нулю только в том случае, когда реакция также равна нулю. Если точке сообщить перемещение по поверхности (неосвобождающее перемещение), то работа реакции будет равна нулю.

1. Проверить, что если две точки М (х, у, г) и М'(х', у', г') системы •связаны нерастяжимой и невесомой нитью, проходящей через некоторую кривую С, то сумма работ реакций связей (натяжений нити в точках М и М') равна нулю для перемещения, допускаемого связью.

3. Диск, ограниченный кривой С, движется в плоскости. Невесомая нить закреплена в точке М контура С диска, обернута вокруг него и затем протянута до точки М' системы, где она закреплена. Проверить, будет ли сумма работ реакций связи равна нулю для перемещения, допускаемого этой связью.