Перемещения срединной

каком она действительно наложена на систему. Сплошными стрелками показаны возможные перемещения точки в случае б). Виртуальные перемещения совпадают с касательной к параболе в той ее точке, где в данное мгновение находится материальная точка, а возможные перемещения зависят также и от скорости движения параболы и по направлению, вообще говоря, не совпадают с касательной.

Это значит, что для стационарных связей действительные перемещения совпадают с одним из виртуальных перемещений. Материальная система, состоящая из п точек, имеет Зп вариаций координат. Однако в силу уравнений (1.26) эти вариации координат не являются независимыми друг от друга. Решая уравнения (1.26) относительной вариаций координат, для которых это решение возможно, мы их выразим через остальные Зп — k. Следовательно, независимых вариаций координат будет Зп — k, т. е. число независимых вариаций координат равно числу степеней свободы материальной системы.

Форма записи (4.210) для работы сил Rt справедлива только для случая, когда перемещения совпадают по направлению с направлением приложенных сил. В более общем случае работа внешних сил

Знак плюс в формуле (12.1) берется в случае, когда направления силы и перемещения совпадают, знак минус — когда эти направления противоположны.

Итак, работа будет положительной, если направление силы и направление перемещения совпадают (или а < 90°); работа будет отрицательной, если направление силы и направление перемещения противоположны (или а > 90°); работа равна нулю, когда направление силы и направление перемещения взаимно перпендикулярны. Так, например, при подъеме тела вверх работа силы тяжести будет отрицательной, при движении вниз — положительной, а при движении по горизонтальной плоскости работа силы тяжести будет равна нулю.

Если направление силы и направление перемещения совпадают, то эту формулу можно переписать в иной форме:

также находится в равновесии. Теорему Жуковского можно применить и к системе, не находящейся в равновесии. Для этого достаточно, кроме действующих сил, приложить силы инерции. Получающаяся при этом система сил условно находится в равновесии, поэтому к ней можно применить указанную теорему. Для доказательства теоремы воспользуемся принципом возможных перемещений. Для системы, обладающей стационарными связями (связями, независящими от времени), возможные перемещения совпадают с действительными элементарными перемещениями. Математическое выражение принципа возможных перемещений в этом случае получает такой вид:

Величину Л 2 можно рассматривать как такую вариацию полной потенциальной энергии б.,. (Э0), когда возможные перемещения совпадают с перемещениями ы2, ^г. fa- Поскольку начальное состояние равновесно, /42 = 0 при любых перемещениях «2» и2, ш2, совместимых с наложенными на тело связями. В частности, положив перемещения ы2, vz, w2 равными нулю, из выражения (2.56) вновь получим выражение для энергетического критерия устойчивости в форме Брайана.

В механизме с одной степенью свободы каждая его точка может совершать только одно перемещение, которое и является ее возможным перемещением. Для практических целей удобно пользоваться не элементарными работами сил и моментов пар сил, а их мощностями. Так как в системах с одной степенью свободы возможные перемещения совпадают с действительными перемещениями, определяющими действительные скорости отдельных точек механизма, то мощность любой силы Pt можно подсчитать по формуле

Форма записи (2.151) для работы сил RI справедлива только для случая, когда перемещения совпадают с направлением приложенных сил. В более общем случае, например при пространственной деформации стержня, работу внешних сил можно представить в виде

Работа зависит от приложенной силы (например, силы, приложенной к поршню насоса) и перемещения точки приложения этой силы (например, перемещение поршня насоса). Если направления силы и перемещения совпадают, то работа определяется как произведение силы на перемещение. Следовательно, работа тем больше, чем больше приложенная сила и перемещение точки приложения этой силы.

где elt e2 — нормальные деформации в направлениях 1 и 2; ев — деформация сдвига в плоскостях 1 — 2; и,- — перемещения срединной Поверхности в направлении координатных лиций щ w — перемещение в направлении z (прогиб).

ult u2 — меридиональное и кольцевое перемещения срединной поверхности оболочки; w — нормальное перемещение; . х, у — осевая и кольцевая координаты на срединной поверхности

где величины ut и о>(- — осевые и поперечные перемещения срединной плоскости склеиваемого слоя i, как показано на рис. 44, б.

где Nx, Nz, S, Ms - внутренние силовые факторы; их, uz, #(0), v(0) — перемещения срединной поверхности.

При этом считаем, что перемещения срединной и наружной поверхности пластинок одинаковые. Система уравнений (6.6) — (6.8) является исходной для получения точного и приближенного решений для описанной выше модели соединения.

щем через точку А, такой момент задается формулой ДМ = (R^ — г) X X PRm/r, где г — средний радиус фланца в сечении А. Вычисленные таким образом внешние моменты рассматриваются как заданные разрывы. Для сжатых осевыми усилиями элементов задаются радиальные перемещения срединной поверхности w = [iRm/Es (s — толщина элемента); эти данные при расчете учитываются как известные частные решения.

где N, Q, M — соответственно тангенциальное, поперечное (перерезывающее) усилия и изгибающий момент; R, 2h — соответственно радиус и толщина слоя; б(± — напряжения на наружных и внутренних поверхностях слоев; E, E', v, v' — модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно для направлений в плоскости изотропии и перпендикулярных к этой плоскости; и, w — тангенциальные и нормальные перемещения срединной поверхности; YJ — угол поворота нормали.

ная к контуру компоненты перемещения срединной поверхности; индекс «т» здесь и далее означает транспонирование.

ими будут перемещения срединной поверхности заполнителя, углы поворота сечений заполнителя и угол поворота нормали

где и, v, w — касательные и нормальные перемещения срединной .поверхности заполнителя; k — кривизна оболочки, равная \/R, где R — радиус оболочки; р, х — угловая и осевая координаты. Обшивки оболочки будем считать безмоментными, деформациями сдвига V12* в обшивках будем пренебрегать. Заполнитель оболочки примем «легким» и несжимаемым в поперечном направлении. Будем считать, что деформации поперечного сдвига в осевом направлении Via' значительно меньше деформаций поперечного сдвига в окружном направлении уж • Энергию деформации, обусловленную via*, также как и энергию изгиба в осевом направлении, в расчете учитывать не будем.

где Nx, Nz, S, Ms — внутренние силовые факторы; их, uz, i?(0), v(0 ) — перемещения срединной поверхности.