Переменные контактные

Уравнения движения многих механизмов могут быть представлены линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. К этим механизмам, в первую очередь, относятся те механизмы, для которых инерционные коэффициенты (приведенные массы и моменты инерции), входящие в выражение кинетической энергии, представлены переменными величинами. Однако переменные коэффициенты в дифференциальном уравнении движения механизма могут появиться и при постоянной приведенной массе, если на механизм действуют силы, зависящие от положения звеньев и от времени.

где A.J (т) — переменные коэффициенты Лагранжа; ф — уравнения системы (9.14).

1. Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в уста** новлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы.

Полученная система уравнений имеет переменные коэффициенты и ее решение целесообразно строить каким-либо численным методом. Для этого примем

описывается некоторая поверхность. Аналитическое исследование такого механизма не представляет трудностей. С этой целью необходимо сначала определить переменные коэффициенты направления продольной оси штанги 3 как функции угла поворота маятника, а затем воспользоваться решением задачи об исследовании движения кривошипно-ползунного механизма (гл. 23) в случае, если вращение шатуна не имеет значения.

Вычислив переменные коэффициенты (4) и (5), и задавшись начальным условием ZQ = WQ и шагом интегрирования срЛ, а также

Во многих задачах, решаемых на АВМ, необходимо реализовывать переменные коэффициенты, законы изменения которых описываются, в частности, кусочно-линейными и нелинейными функциями или их комбинациями. Реализация подобных коэффициентов рассматривается на примере динамического расчета зубчатой передачи с переменной жесткостью зацепления при импульсном возбуждении колебаний.

Аналитически решение полной системы уравнений (8-2), (8-3), (8-5) не может быть получено. Это объясняется тем, что, во-первых, все уравнения имеют переменные коэффициенты, заданные только в табличной форме, и, во-вторых, корни соответствующего характеристического уравнения 4-го порядка можно определить лишь численно.

В (IV. 18) входят переменные коэффициенты, поэтому при дифференцировании получим:

Переменные коэффициенты дают возможность провести упрощение записи сепаратных замещающих систем (IV.48), (IV.49) и (IV.50). Одновременно проведем учет скачкообразных возмущений через начальные условия, исключив тем самым слагаемые с возмущениями из уравнений (IV.48) — (IV.50), за исключением слагаемого в первом уравнении (IV. 48). Запись начальных условий будет приведена ниже. Сепаратные системы будут иметь вид:

В системы (IV.57), (IV.58) и (IV.59) входят переменные коэффициенты. Поэтому в правых частях уравнений появились добавки вида (-^гг1-) %• Значения переменных коэффициентов

прохождения зоны контакта и свободна от напряжений в остальное время оборота цилиндра. Переменные контактные напряжения вызывают усталость поверхностных слоев деталей. На поверхности образуются микротрещины с последующим выкрашиванием мелких частиц металла. Если детали работают-в масле, то оно проникает в микротрещины (рис. 8.8, а). Попадая в зону контакта (рис. 8.8, б), трещина закрывается, а заполняющее ее масло подвергается высокому давлению. Это давление способ-ствует развитию трещины

Переменные контактные напряжения и трение профилей вызывают повреждения рабочих поверхностей зубьев.

переменные контактные напряжения, которые приводят к усталости * поверхностных слоев деталей. На поверхности образуются микротрещины. Если детали работают в масле, то оно проникает в трещины (рис. 3.3, а). Попадая в зону контакта, трещина закрывается (рис. 3.3, б), а находящееся в ней масло испытывает высокое давление, что способствует расширению и углублению трещин. И так повторяется до тех пор, пока не произойдет выкрашивание кусочка металла, нависающего над трещиной (рис. 3.3, б). В результате выкрашивания на поверхности деталей появляются мел-

Повторно-переменные контактные напряжения и силы трения приводят к усталостному изнашиванию активных поверхностей зубьев. Как было установлено в § 1.4, сопротивление усталостному изнашиванию у опережающих поверхностей выше, чем у отстающих, поэтому нагрузочная способность головок зубьев выше, чем ножек. Этим объясняется отслаивание и выкрашивание частиц материала на активной поверхности ножек зубьев (рис. 7.20, в) при отсутствии видимых усталостных повреждений головок. Усталостное изнашивание активных поверхностей зубьев характерно для работы закрытых передач.

Усталостное выкрашивание является наиболее частой причиной выхода из строя колес закрытых зубчатых передач, работающих с обильной смазкой. Переменные контактные напряжения, превышающие предел выносливости, приводят к образованию на поверхности зубьев микротрещин. На рис. 32.12 показано направление микротрещин на поверхности ведущих и ведомых зубьев. При работе зубчатой передачи в микротрещины попадает масло. Силы, действующие в зацеплении, повышают давление масла, находящегося в трещине, расположенной на поверхности ножки зуба, в результате чего размеры ее увеличиваются и в конечном счете 'происходит отслаивание и выкрашивание кусочков металла (рис. 32.14, а).

поверхности испытывает большие переменные контактные напряжения.

надежны в работе, имеют малые габариты. При работе зубья испытывают переменные контактные напряжения и напряжения изгиба, что затрудняет их точный расчет. Поэтому согласно ГОСТу

Переменные контактные напряжения вызывают усталость поверхностных слоев деталей. На поверхности образуются микротрещины с последующим выкрашиванием мелких частиц металла. Если детали работают в масле, оно проникает в микротрещины (рис. 180, а). Попадая в зону контакта (рис. 180,6), трещина закрывается, находящееся внутри трещины масло сжимается в замкнутом пространстве, и в нем создается высокое давление, распирающее стенки трещины. При повторных нагружениях трещина все более увеличивается, отделяемая ею частица металла откалывается от поверхности, образуя раковину (рис. 180, в). Экспериментальные кривые, характеризующие стойкость материала в отношении усталостного выкрашивания, построенные в координатах контактное напряжение — число циклов нагружений (см. рис. 179, г), подобны обычным кривым выносливости (см. рис. 158). Базовому числу циклов NHO соответствует предел выносливости ано, величина которого в основном зависит от твердости материала. По пределу выносливости определяют допускаемое напряжение, исключающее усталостное выкрашивание рабочих поверхностей.

Переменные контактные напряжения и трение профилей вызывают повреждения рабочих поверхностей зубьев.

Контактной выносливостью называется способность материала воспринимать переменные контактные напряжения.

ния являются малые энергетические потери. Коэффициент трения качения составляет обычно 0,0001—0,001, тогда как коэффициент трения скольжения в тех же условиях равен 0,05—0,3, т. е. в сотни раз больше. Поэтому потерями на трение при дифференциальном проскальзывании сопряженных поверхностей и при поперечном скольжении за счет вдавливания шара в желоб зачастую пренебрегают. Долговечность пар трения качения ограничивается в основном усталостным разрушением, выкрашиванием. К выкрашиванию приводят повторно-переменные контактные напряжения, вызывающие образование трещин, расклиниваемых попадающей в них смазкой. Ограниченное выкрашивание на небольшом участке вследствие временной перегрузки непосредственно связано с концентрацией нагрузки и с наличием неровностей на сопряженных поверхностях, резко уменьшающих фактическую площадь контакта. Прогрессивное выкрашивание, наступающее при достаточно больших напряжениях, также связано с неровностями поверхности. Испытания стальных шлифованных цилиндрических образцов на контактную усталость на машине МИД-4 при нагрузке 1500 Н и при 14 400 об/мин показали, что между стойкостью и высотой волнистости имеется обратная зависимость: с увеличением высоты волн с 0,1—0,4 до 1—2,5 мкм, т. е. приблизительно в 7 раз, стойкость снизилась с 450 до 150 ч, т. е. в 3 раза. Некоторые зарубежные фирмы считают, что для подшипников качения диаметром 6—12 мм допустимая амплитуда периодических неровностей уменьшается с увеличением числа волн на окружности с 1 мкм при двух волнах до 0,3 мкм при восьми волнах.

При вращении цилиндров под нагрузкой отдельные точки их поверхностей периодически нагружаются и разгружаются, а контактные напряжения в этих точках изменяются по прерывистому отнулевому циклу (рис. 8.8, г). Каждая точка нагружается только в период прохождения зоны контакта и свободна от напряжений в остальное время оборота цилиндра. Переменные контактные напряжения вызывают усталость поверхностных слоев деталей. На поверхности образуются микротрещины с последующим выкрашиванием мелких частиц металла. Бели детали работают в масле, то оно проникает в микротрещины (рис. 8.8, а). Попадая в зону контакта (рис. 8.8, б), трещина закрывается, а заполняющее ее масло подвергается высокому давлению. Это давление способствует развитию трещины до тех пор, пока не произойдет выкрашивание частицы металла (рис. 8.8, в). Выкрашивание не наблюдается, если значение контактных напряжений не превышает допускаемого.