Переменными нагрузками

Получив решения (9.16), замечаем, что уравнение (9.11), являющееся развернутой формой уравнения (9.14), содержит только одну неизвестную функцию ср„(0, которую и определим из этого уравнения. Как видно, оно является нелинейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами. Используем для его решения распространенный в нелинейной механике метод последовательных приближений. Применительно к динамическим задачам теории механизмов и машин этот метод был впервые разработан и эффективно применен М. 3. Коловским.

Основная сложность лри решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике: метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах — постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в § 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения.

где frs'0' — малый угол поворота сечения К стержня относительно ненагруженного состояния; Ф3о — угол поворота связанных осей при е=в/с (см. рис. 1.26). Подставив выражения для сил (11), (12) в уравнения (1) и (2), получим систему шести линейных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами относительно шести неизвестных: Qi<°>, Q2<0>, Af3<°>, MI<°>, M2(0)-ф 1.3. Уравнения равновесия полностью совпадают с уравнениями, полученными в задаче 1.2, кроме проекций сил. Получим выражения для проекций сил. Так как вектор ускорения а не лежит в плоскости чертежа, то форма осевой линии стержня в нагруженном состоянии будет пространственной кривой. При малых углах поворота связанных осей матрица L(1) (П.57) имеет вид

можные резонансные режимы три известных частотах возмущений, действующих на стержень, и варьированием конструктивных параметров стержня их избежать. При проектировании упругих элементов (задачи синтеза), например частотных датчиков стержневого типа (рис. В. 7 — В.9), требуется определить размеры стержня при заданных механических характеристиках материала стержня, чтобы, например, первая частота была равна заданной. Точность работы приборов времени, использующих упругие стержневые элементы, во многом зависит от точности расчета спектра частот упругого элемента. Формы колебаний дают возможность решать приближенными методами сложные задачи динамики стержней, как линейные, так и нелинейные. В настоящее время разработано много методов определения частот систем с распределенными параметрами, которые можно разделить на две группы: точные и приближенные. В свою очередь, точные методы включают в себя: 1) точные аналитические методы, например метод Фурье для решения линейных уравнений, допускающих разделение переменных как для уравнений с постоянными коэффициентами, так и для уравнений с переменными коэффициентами, решение которых может быть представлено в специальных функциях, и 2) точные численные методы (например, метод начальных параметров, метод прогонки и т. д) . В тех случаях, когда требуется определить только частоты колебаний стержня, более эффективными являются приближенные методы, например метод, использующий принцип возможных перемещений.

Векторное уравнение (4.14) эквивалентно системе 12 уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Элементы матрицы В зависят от статического напряженно-деформированного состояния (от компонент векторов Q0, M0, х<>) • Кроме того, стержень может иметь переменное сечение, т. е. J и А есть функции е. В частном случае свободных колебаний ненапруженного стержня матрица В принимает вид (в этом случае матрицы AQ и Ам —

ми системами алгебраических уравнений с переменными коэффициентами, решение которых строится с помощью процедуры последовательных приближений [191. Упругому, вязкоупругому фиктивным телам и вязкой фиктивной жидкости соответствует бесконечная система алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Решение ее строится с помощью процедуры последовательных приближений, сущность которой сводится к следующему. В первом приближении полагаем т =- п -- р — I =•- 1. Имеем четыре уравнения с четырьмя неизвестными параметрами А1П1, ..., Dnn, решая которые находим параметры. Во втором приближении полагаем, что каждый из индексов т, л, р, I принимает два значения (1 и 2). В этом случае имеем 64 уравнения с таким же числом неизвестных параметров, решая которые, находим искомые параметры. Последующие приближения строятся аналогично, однако в этом нет необходимости, так как второе приближение обеспечивает точность решения в пределах 5%. В результате находим компоненты корректирующего тензора. Суммируя основной и корректирующий тензоры, получим тензор кинетических напряжений для упругого, вязкоупругого тел и вязкой жидкости.

Упругопластическому и вязкопластическому фиктивным телам соответствует бесконечная система алгебраических уравнений с переменными коэффициентами и свободными членами. Решение такой системы строится с помощью процедуры последовательных приближений, согласно которой первым (исходным) приближением считается решение соответствующей задачи для упругого тела или вязкой жидкости, т. е. известен тензор (Т<е>) для рассматриваемой задачи. По известным компонентам тензора (Тм), используя приведенные формулы, вычисляем интенсивность кинетических напряжений Т(е), интенсивность напряжений сг<«> и интенсивность касательных напряжений т<«>. Имея динамические диаграммы материала ст; -=- е{ и т; -f- -у*. ГД?

Закон изменения аналога ускорения толкателя (см. рис. II.7.2) задан в виде чередования участкрв с нулевым аналогом ускорения и участков, на которых аналог ускорения изменяется по синусоидальному закону. Поэтому решению подлежит система уравнений с переменными коэффициентами.

Свойство консервативности разностной схемы. Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем, связанные с наличием временной переменной и соответствующего дифференциального оператора. Однако проблемы возникают и при выборе вида аппроксимации пространственного дифференциального оператора. В предыдущем параграфе этот оператор аппроксимировался самым простейшим образом — производные в дифференциальном уравнении и граничных условиях заменялись конечными разностями. Но оказывается, что такой подход не всегда приводит к успеху. Для более сложных задач, описываемых нелинейными уравнениями и уравнениями с переменными коэффициентами, замена производных конечными разностями может привести к схемам, которые будут иметь большую погрешность, либо вообще окажутся непригодными для счета.

Получив решения (9.16), замечаем, что уравнение (9.11), являющееся развернутой формой уравнения (9.14), содержит только одну неизвестную функцию фм(0. которую и определим из этого уравнения. Как видно, оно является нелинейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами. Используем для его решения распространенный в нелинейной механике метод последовательных приближений. Применительно к динамическим задачам теории механизмов и машин этот метод был впервые разработан и эффективно применен М. 3. Коловским.

Следовательно, в общем случае машинный агрегат представляет собой сложную систему, теоретическое исследование которой весьма затруднительно; для исследования такой системы надо было бы составить много дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Кроме этого, в систему входили бы также и конечные уравнения.

Автомобильные двигатели работают, как правило, с переменными нагрузками на неустановившихся режимах, с последовательными цикличными переходами с режима холостого хода на режимы разгона, установившейся работы и далее принудительного холостого хода (рис. 6).

При проектировании сварных конструкций решается задача комплексного расчета сварных соединений. Он включает проверку прочности сварных швов и основного металла в зонах, прилегающих к швам. Расчет прочности основного металла возле швов производится в конструкциях из закаленных сталей при всех видах нагрузок, в том числе и статических. В конструкциях из незакаленных малоуглеродистых и низколегированных сталей комплексный расчет сварных соединений ведется при их работе под переменными нагрузками.

Полиформаль- 550— 750 900 — 1000 15 12,8- 103 ми переменными нагрузками в активной химической

Усталостный износ. Весьма часты случаи, когда деталь или несколько деталей, подвергающихся в течение продолжительного времени переменным нагрузкам, ломаются при напряжениях, значительно меньших, чем предел прочности материала детали. Под переменными нагрузками в данном случае понимают напряжения, которые возникают под действием усилий, многократно изменяющихся по величине или направлению, либо одновременно и по величине, и по направлению. Полное или частичное разрушение детали под действием напряжений, величина которых меньше предела прочности, называют усталостным износом. Усталостному разрушению предшествует появление трещин в виде острых надрезов, у дна которых создаются объемные напряженные состояния. В резуль-

Высокая коррозионная стойкость алюминия и его сплавов в условиях агрессивных сред, характерных для нефтедобывающей промышленности, делает перспективным их использование в качестве конструкционного материала для изготовления буровых, насосно-компрессорных труб и деталей газопромыслового оборудования. Известно, что алюминий и его сплавы подвергаются коррозионному разрушению в результате общего растворения, питтинга, межкристаллит-ной коррозии, коррозии под напряжением, расслаивающейся коррозии. Вид коррозионного разрушения определяется составом алюминиевого сплава, зависит от состава коррозионной среды и условий эксплуатации. Так, при использовании бурильных труб из алюминиевых сплавов возможно развитие контактной коррозии за счет соединения их с остальными замками. В зазорах резьбовых соединений происходят процессы щелевой коррозии, а при нагружении таких соединений переменными нагрузками возникают процессы фреттинг-коррозии. Значительное влияние на характер коррозионного разрушения оказывает рН коррозионно-активной среды. Практика эксплуатации алюминиевых труб показывает, что с увеличением рН от 1 до 13 меняется характер коррозионного поражения: равномерная коррозия — в сильнощелочной, щелевая — в сильно кислой областях, питтинговая — при рН = 3—11.

В случае применения ЛБТ из алюминиевых сплавов возможно развитие контактной коррозии за счет соединения их со стальными замками. В зазорах резьбовых соединений происходят процессы щелевой коррозии. При нагружении таких соединений переменными нагрузками возникают процессы фреттинг-корро-зии. При проведении спуско-подъемных работ наблюдается периодическое смачивание при чередовании атмосферной коррозии и коррозии погружением в электролит, что стимулирует увеличение скорости коррозионного разрушения.

Усталостный износ. Весьма часты случаи, когда деталь или несколько деталей, подвергающихся в течение продолжительного времени переменным нагрузкам, ломаются при напряжениях, значительно меньших, чем предел прочности материала детали. Под переменными нагрузками в данном случае понимают напряжения, которые возникают под действием усилий, многократно изменяющихся по величине или направлению, либо одновременно и по величине, и по направлению. Полное или частичное разрушение детали под действием напряжений, величина которых меньше предела прочности, называют усталостным износом. Усталостному разрушению предшествует появление трещин в виде осчрых надрезов, у дна которых создаются объемные напряженные состояния. В резуль-

Применение в транспортных машинах, двигателях внутреннего сгорания, в часах и приборах различного вида пружин, работающих с переменными нагрузками, требует тщательного их контроля под нагрузкой. Все приспособления, применяемые для проверки усилий затяжки резьбовых соединений и упругих свойств различных типов пружин можно подразделить на две группы: динамометрические ключи и приспособления для контроля пружин.

Степень и равномерность затяжки винтовых соединений в значительной степени предопределяют правильность работы многих ответственных узлов. Неравномерная затяжка вызывает излишнее напряжение в деталях и узлах, приводит к деформациям, а неполная затяжка ведет к разбалтыванию резьбового соединения во время работы, что имеет особое значение в машинах, работающих с переменными нагрузками (с толчками).

Благодаря специфическим динамическим свойствам, самотормозящиеся механизмы получают применение в приводах машин с резко-переменными нагрузками. В частности, самотормозящиеся червячные механизмы применяются в-приводах главного движения тяжелых фрезерных станков. На рис. 95 показан привод тяжелого фрезерного станка модели ГФ-375, на рис. 96 — аналогичный привод тяжелого фрезерного станка фирмы «Геллер» [21; 22; 89; 93].

Рессоры, пружины и торсионы работают, как правило, с переменными нагрузками, т. е. на усталость.