Параметры жесткости

Таблица 4.5 - Параметры изменения толщины

(напомним, что вогласно гипотезам Кирхгоффа — Лява напряжение az в площадках, параллельных срединной поверхности, полагается пренебрежимо малым). Подставляя в формулы (3. ) 7) значения деформаций (3.12), (3.13), выразим напряжения в произвольной точке через деформации и параметры изменения кривизны "срединной поверхности:

Пути решения основных уравнений» Если с помощью уравнения (3.25) исключить поперечную силу из уравнений (3.22) и (3.24), то мы получим два уравнения равновесия, включающие четыре неизвестных силовых фактора (7\, Тг, Мг, М2). Силовые факторы выражаются с помощью уравнений упругости (3.20), (3.21) через деформации срединной поверхности и параметры изменения ее кривизны (въ еа, кг, х2). Эти же последние, в свою очередь, с помощью формул (3.14), (3.7), (3.9) и (3.16) могут быть выражены через два перемещения — радиальное § и угловое •&.

Полученное выражение для угла поворота Ф позволяет оценить погрешность безмоментной теории в данной задаче. С этой целью вычислим параметры изменения кривизны срединной поверхности:

Приведем еще формулы для вычисления напряжений в зависимости от сил и моментов. Эти формулы легко получить из уравнений (5.45), если выразить в них деформации и параметры изменения кривизны через силы и моменты, т. е.

Так- как все входящие в уравнения (5.59) усилия и моменты выражены с помощью уравнений упругости (5.46) через деформации и параметры изменения кривизны срединной поверхности, а эти последние с помощью геометрических соотношений (5.33) — через три компонента вектора перемещений, то, в конечном^ счётёГ три уравнения равновесия (5.59) определяют три неизвестные функции и, v и w,

Как уже указывалось, уравнения равновесия элемента оболочки (5.59) после подстановки сил и моментов, выраженных через деформации и параметры изменения кривизны, и замены последних их значениями по (5.33) представляют собой систему трех уравнений в частных производных относительно компонентов перемещения и, v, w. Выписывать эту громоздкую систему в общем виде нецелесообразно. Представим однако структуру этой системы. В нее входят силы, которые определяются в зависимости от дефор-

мали и параметры изменения кривизны связаны с перемещениями формулами [см. в § 21 формулы (5.33), (5.10), (5.12)1

Отнеся оболочку к координатам а == -в-» Ф. получим следующие равенства, определяющие деформации и параметры изменения кривизны срединной поверхности 1см. уравнения (5.67)1;

Выражая силы и моменты по уравнениям упругости (5.46) и заменяя деформации и параметры изменения кривизны их значениями по (5.97), получим уравнения равновесия в перемещениях. Эту систему уравнений удобно записать в матричной форме

С учетом этого основные уравнения § 21, связывающие деформации, углы поворота нормали и параметры изменения кривизны срединной поверхности, получают вид

Приведение параметров упругости звеньев (связей). Приведение параметров упругости необходимо для составления упрощенных динамических моделей машин и приведения их к одной оси. Упругость связи характеризуют параметром жесткости (жесткостью). Параметром жесткости называют силу или момент силы, вызывающие перемещение, равное единице (длины или угла). Например, жесткость стержня при деформациях растяжения-сжатия с = F/Дх, при кручении с = М/Дф и при изгибе звеньев с = F/f (рис. 5.6, а-в). Указанные параметры жесткости могут быть получены из известных формул, отображающих закон Гука при различных деформациях:

где учтено, что деформации всех приводимых звеньев одинаковы. Сокращая равенства (5.69) на соответствующие значения деформаций Ах, Аф и заменив нагрузки их величинами, выраженными через параметры жесткости Fj = ct Ax, F2 = с2 Ах, F = = с Ах, T! = ct Аф, Тг = с2 Аф, Т = с Аф, после сокращений приходим к равенству

Параметры жесткости модели зависят от экспериментальных данных композиционного материала на начальном участке деформирования. На линейном участке нагружения легко определяются модуль Юнга (fie), коэффициент Пуассона (vc) изотропной составляющей и коэффициент К перед матрицей жесткости (3.69), соответствующей ортотропной составляющей модели. Действительно, три независимые компоненты жесткости материала в осях 123, входящие в левую часть (3.74), считаются известными; их рас-

Необходимые условия связывают определенными соотношениями инерционные параметры и параметры жесткости. Отметим, что в число необходимых условий всегда входит условие

Необходимые условия могут быть получены при анализе конкретных схем механизмов, как некоторые ограничения, наложенные на инерционные параметры и параметры жесткости. При этом условие (43.4) должно выполняться непременно, а неравенство

Построенный и экспериментально исследованный нелинейный демпфер имеет дополнительную массу А (фиг. 28 и 29). Он является удобным в экспериментальном отношении, так как конструкция демпфера легко позволяет экспериментатору менять по своему произволу его параметры: жесткости пружин, предварительные натяги, зазоры между ограничителями.

Параметры жесткости модели зависят от экспериментальных данных композиционного материала на начальном участке деформирования. На линейном участке нагружения легко определяются модуль Юнга (fie), коэффициент Пуассона (vc) изотропной составляющей и коэффициент К перед матрицей жесткости (3.69), соответствующей ортотропной составляющей модели. Действительно, три независимые компоненты жесткости материала в осях 123, входящие в левую часть (3.74), считаются известными; их рас-

2. Из матрицы жесткости фрагмента исключаются коэффициенты, соответствующие внутренним узлам, не стыкующимся с соседними фрагментами. При этом образуется суперэлемент, имеющий меньшее число узлов, но сохраняющий те же параметры жесткости, которые имела совокупность входящих в фрагмент элементов.

Напряжения в угловых швах усиливающих накладок (рис. 14.2.7, а) можно определять из условия равновесия сил: от нормальных напряжений а в накладке и касательных т в швах (рис.14.2.7,г). Напряжения а дают силу о В s, которая служит для определения напряжений t (s — толщина метала). Напряжения о определяют, зная нагрузку на балку и считая, что угловые швы обладают достаточной жесткостью, чтобы вызвать полную совместную работу балки и накладки. Такой подход к определению напряжений не всегда оправдан. Например, прокладка на рис.14.2.7,д не нуждается в. том, чтобы иметь значительную длину / и крупные катеты к для обеспечения в ней таких же напряжений о, как и в скрепленных ею уголках. Здесь можно допустить заметное течение швов. Чем меньше длина шва /, тем меньше будет взаимное перемещение точек А и С, а значит, и меньше нагрузка на швы. Такие швы обычно не рассчитывают, кроме случаев введения фиктивной перерезывающей силы в сжатых стойках. Из этого примера, однако, не следует, что швы крупных косынок (рис. 14. 2. 7, в) не нужно рассчитывать на нагрузку от совместной деформации. При большой длине / и значительной ширине В пластические перемещения на концах швов будут значительны. Здесь необходимо вводить либо ограничение на перемещение у концов продольнх швов, либо расчет вести, как в случае накладки на рис. 14.2. 7, г. Расчет усложняется, если косынка передает продольную нагрузку с раскосов. Касательные напряжения в поясных швах балок от перерезывающей силы также являются примером, когда напряжения возникают от совместной деформации сваренных элементов. Здесь также не используется модель абсолютно жесткого тела. Известная формула, приводимая ниже, включает в себя параметры жесткости пояса, балки и стенки:

Применительно к конкретным физическим и техническим объектам неустойчивость невозмущенных движений обычно может быть истолкована как параметрическое возбуждение колебаний (и наоборот). Причиной параметрических колебаний обычно являются периодически изменяющиеся параметры жесткости и инерционности. Например, при установившемся вращении вала, жесткость опор которого зависит от направления реакций, эффективная жесткость системы - периодическая функция времени; в кривошипно-шатунном механизме периодически изменяется приведенная масса, т.е. инерционная характеристика. Исследование устойчивости

где а = а2 /CTJ; (3 = ст3 / aj — параметры жесткости напряженного состояния.