Погрешность численного

ные «свидетели». Наиболее доступными для практического применения контроля толщины покрытий являются приборы серийного производства МИС-11, ПСС-2; при этом пределы измерения первыми приборами могут достигать 0,8—56 ммк с погрешностью показаний приборов соответственно 32—8% и прибором ПТС-1 в пределах 40—320 мкм с погрешностью показаний соответственно 20—5%.

Погрешностью показаний называется разность между показаниями прибора и действительными значениями измеряемой величины. Различают погрешность показаний самого инструмента и погрешность метода измерения.

Измерительные приборы с допустимой погрешностью показаний менее 0,1 мкм

Измерительные приборы с допустимой погрешностью показаний от ±0,1 до ±0,25 мкм. Оптические длиномеры с допустимой погрешностью показаний от ±1,0 до 4,5 мкм. Измерительные машины (основные шкалы) 4-го разряда

Измерительные приборы с допустимой погрешностью показаний от ±0,2 до ±2,0 мкм. Микрометры рычажные с допустимой погрешностью показаний ±3 -г- 4 мкм. Микрометры 0-го класса. Измерительные машины (основные шкалы) 5-го разряда

Микрометры 1 и 2-го классов. Скобы рычажные с допустимой погрешностью показаний от ±2 до ±5 мкм. Глубиномеры микрометрические с допустимой погрешностью показаний от ±5 до ±10 мкм. Нутромеры микрометрические с допустимой погрешностью показаний от ±8 до 40 мкм

Скобы индикаторные с допустимой погрешностью показаний от ±10 до ±25 мкм

2. Измерительные приборы с допустимой погрешностью показаний 0,1 мкм и менее могут проверяться по разностям длин концевых мер, определенных с погрешностью, меньшей чем ±(0,05 + 0,5 X X 10~3) мкм, где L — номинальный размер меры в мм).

2 - Измерительные приборы с допустимой погрешностью показаний менее 0,1 мкм

3 0 Измерительные приборы с допустимой погрешностью показаний от ± 0,1 до ±0,25 мкм. Оптические длинномеры с допустимой погрешностью показаний от ± 1,0 до ± 4,5 мкм. Измерительные машины (основные шкалы) 4-го разряда

4 1 Измерительные приборы с допустимой погрешностью показаний от ±0,2 до ±2,0 мкм. Микрометры рычажные с допустимой погрешностью показании ± (3 — 4) мкм. Микрометры 0-го класса. Измерительные машины (основные шкалы) 5-го разряда

При численном решении задачи непрерывная область изменения независимой переменной [0, ттах] заменяется множеством значений {TJ} .jf p которые будем называть узлами сетки. В случае равномерной сетки tj = /Ат, / = 1, ..., J; Ат— тгаах/У — шаг по времени. Вместо задачи отыскания непрерывной функции Т (т) ставится задача определения дискретного множества значений функции в узлах сетки: Т/ = Т(ту). Величина Т' называется сеточной функцией точного решения. Как мы увидим дальше, точные значения Т' найти не удается, а вместо них в результате численного решения задачи получаются приближенные значения искомой функции в узлах сетки, которые будем обозначать и> и называть сеточной функцией разностного решения или просто разностным (численным) решением. Погрешность численного решения определим как разность сеточных функций точного и разностного решений: е' = Т' — W .

Для нахождения разностного решения вместо задачи (1.29), (1.30) рассматривают задачу решения системы алгебраических уравнений относительно искомых значений {u'}.J==l. Такую систему алгебраических уравнений называют разностной схемой. При измельчении сетки (при Ат ->• 0) погрешность численного решения должна в случае удачной схемы стремиться к нулю, т. е.

Погрешность аппроксимации г>' характеризует различие между уравнениями для точного и для разностного решений. Но малые значения ф' еще не гарантируют, что сами решения Т> и и' также будут мало отличаться, т. е. что погрешность е/ будет мала. Возможны ситуации, когда при выполнении условия аппроксимации погрешность численного решения е,' неограниченно возрастает по мере продвижения по оси т с фиксированным Ат, т. е. при увеличении номера временного слоя /. Для анализа этого вопроса исследуем поведение погрешности численного решения простейшего линейного уравнения теплового баланса

При любой стратегии, основанной на оценке локальной погрешности, не учитывается накопление погрешности в ходе всего расчета и, следовательно, фактическая погрешность численного решения остается неизвестной.

В такой схеме объем вычислений возрастает по сравнению с квазилинейной схемой, так как на каждом шаге по времени приходится решать методом прогонки систему разностных уравнений не один, a k раз. Однако нелинейная схема дает меньшую погрешность численного решения исходной задачи (3.64) — (3.66), чем квазилинейная. Это объясняется тем, что коэффициенты в выражениях для сеточных аналогов тепловых потоков вычисляются в тот же момент времени, что и температуры (т = /). Для уменьшения погрешности квазилинейной схемы следует уменьшать величину шага Ат, т. е. увеличивать число шагов по времени в рассматриваемом интервале. Поэтому во многих случаях оказывается более выгодным даже с точки зрения затрат машинного времени применять нелинейную схему и делать более крупные шаги по времени Ат, выполняя на каждом несколько итераций.

Проведем сопоставление скоростей сходимости методов ячеек и Монте-Карло. Из (6.23) вытекает, что погрешность определения многомерного интеграла с помощью метода Монте-Карло убывает пропорционально 1/VN, где N — число многомерных точек. Причем скорость сходимости не зависит от размерности интеграла. В методе ячеек, применяемом для кусочно-аналитических подынтегральных функций, которые, как было указано, часто встречаются при расчете угловых коэффициентов, скорость сходимости пропорциональна \/п, где п — число отрезков разбиения по каждой координате. Поскольку в методе ячеек для расчета m-мерного интеграла необходимо рассчитывать N = пт многомерных точек, погрешность численного интегрирования в этом случае будет иметь порядок

При шаге интегрирования Аф = 0,05° поворота кулачкового валика расчет одного варианта на ЭЦВМ «Урал-2» требует 12 мин машинного времени и максимальная погрешность численного интегрирования при этом не превышает 0,5%.

Точку с координатами (t, х) наносят на график. Отклонение кривой от точных значений дает погрешность численного решения.

Погрешность численного решения в заданные моменты времени определяется путем сравнения численного и точного решений в узлах сетки. При этом точное решение (2.69) и погрешность численного решения выдаются на печать для удобства их анализа.

Погрешность численного расчета определяется методической ошибкой и арифметической ошибкой округления результатов.

С уменьшением интервала времени Д? погрешность численного интегрирования снижается, но возрастает его трудоемкость вследствие увеличения числа интервалов при фиксированном времени протекания рассчитываемого процесса изменения температуры. Знание значения х позволяет установить скорость сходимости приближенного решения к точному с уменьшением Л/. При этом чем к больше, тем эта скорость выше. Пусть для одинаковых моментов времени имеются пары значений Т' и Т" , полученные с помощью одного и того же конечно-разностного уравнения, но при различных интервалах времени Д?' и Af = kt&t' . По этим данным согласно правилу Рунге можно найти уточненные значения Т для тех же моментов времени, если в разложении погрешности в ряд удер жать лишь первый (главный) член. Тогда получим