Погрешность аппроксимации

Для d0 = 0 и со С <»0 из уравнения (2.37) получается относительная динамическая погрешность чувствительности

и линеаризованную приведенную погрешность чувствительности от питания

и приведенная погрешность чувствительности из-за старения (отнесенная к соответствующему значению при t = /0)

— приведенная погрешность нуля от старения: bts — приведенная погрешность чувствительности от старения.

Приведенная температурная погрешность чувствительности для некоторого температурного интервала (отнесенная к соответствующему значению при нормальной температуре)

• максимальная приведенная температурная погрешность чувствительности (в заданном температурном интервале)

линеаризованная приведенная температурная погрешность чувствительности

В случае количественного описания ограничиваются характеристикой чувствительности. Если BF— чувствительность при введении силы в должном месте, Вртях — максимальное, a BF mm — минимальное значения, то максимальная погрешность чувствительности от силовведения

Приведенная динамическая погрешность чувствительности

Приведенная погрешность чувствительности от изменения напряжения питания

Приведенная погрешность чувствительности от старения

Здесь а = а(тга, ?) — свободный параметр, который следует выбирать, обеспечивая минимальную относительную погрешность аппроксимации d(, р) при всех р^О:

т. е. при достаточно малых Ат погрешность аппроксимации убывает пропорционально первой степени Ат:

Погрешность аппроксимации г>' характеризует различие между уравнениями для точного и для разностного решений. Но малые значения ф' еще не гарантируют, что сами решения Т> и и' также будут мало отличаться, т. е. что погрешность е/ будет мала. Возможны ситуации, когда при выполнении условия аппроксимации погрешность численного решения е,' неограниченно возрастает по мере продвижения по оси т с фиксированным Ат, т. е. при увеличении номера временного слоя /. Для анализа этого вопроса исследуем поведение погрешности численного решения простейшего линейного уравнения теплового баланса

Нетрудно доказать, что погрешность аппроксимации построенной схемы (1.46), (1.47) равна г)/ = 0 (Ат2).

Условие аппроксимации исходной дифференциальной задачи разностной схемой заключается в том, что погрешность аппроксимации должна стреми :;,ся к нулю при измельчении пространственно-временной сетки1

Подчеркнем, что погрешность аппроксимации не следует путать с погрешностью разностного решения: первая характеризует различие между уравнениями, вторая — различие между решениями этих уравнений Т'п и и/.

дят значения сеточной функции Г/ и некоторые добавочные члены, •Стремящиеся к нулю при измельчении сетки (6?, у>п, «(,, xj). Эти добавочные члены называют погрешностями аппроксимации соответствующих дифференциальных операторов. Погрешность аппроксимации уравнения является в этом случае алгебраической суммой погрешностей аппроксимации отдельных операторов и также стремится к нулю при Дт ->- О, h —>• 0. Возможны и другие пути построения разностных схем, некоторые из которых будут рассмотрены ниже. Если разностная схема уже построена каким-либо путем, то проверить наличие аппроксимации и выяснить ее порядок можно, подставив в разностную схему сеточную функцию точного решения Т'п и выполнив разложения в ряд Тейлора около точки (.г„, т,-), для которой записано соответствующее разностное уравнение.

стью. Дополнительные слагаемые учитывают действие внутренних источников, теплообмен с боковой поверхности и затраты теплоты на нагрев элементарной ячейки. Эти слагаемые пропорциональны ht, поэтому при /tj -> 0 обе аппроксимации граничного условия становятся идентичными Можно показать, что погрешность аппроксимации граничного условия уравнением (3.52) — 0 (/г?), а уравнением

Отметим, что при рассмотрении свойства аппроксимации вводится специальное понятие так называемой суммарной аппроксимации [24], которое заключается в следующем. Каждая из промежуточных систем разностных уравнений (3.88) или (3.90) в отдельности не обладает свойством аппроксимации. Однако невязка, возникающая на первом полушаге, компенсируется на втором полушаге, так что в целом получается погрешность аппроксимации, стремящаяся к нулю при измельчении пространственно-временной сетки.

В неявных абсолютно устойчивых разностных схемах рассмотренного типа допустимый шаг по времени выбирается только из соображений требуемой точности, причем погрешность аппроксимации как явной, так и неявной схемы пропорциональна At и (Ах)2. Однако в частных случаях, когда At и Ах выбраны так, что a At/(Ax)2 = 1/6, эта погрешность существенно уменьшается и становится пропорциональной (At)2 и (Ах)4.

= 0,5 — (Ax)2/(12aAt) погрешность аппроксимации этой схемы пропорциональна 0 [(At)2] + 0 [(Ах)4]. При этом наибольшая степень точности будет полу-