Постоянными коэффициентами

Существует большое число способов аппроксимации нелинейных функций кусочно-постоянными функциями [8], [42]. В качестве примеров можно привести некоторые часто встречающиеся способы аппроксимации.

Итак, для заданной системы (25.1) дифференциальных уравнений движения машинного агрегата с нелинейным звеном, имеющим характеристику общего вида, можно построить аппроксимирующую систему уравнений (25.2). Коэффициенты этой системы аппроксимируют соответствующие коэффициенты системы уравнений (25.1) в смысле условий (25.3) кусочно-постоянными функциями.

При любом методе проведения оценки для принятого способа аппроксимации нелинейных зависимостей кусочно-постоянными функциями в конечном итоге получаем зависимость е2 = йе^

ной системой общего типа, решение которой аналитическими методами не представляется возможным. Учитывая соображения, изложенные в п. 42 при исследовании движения машинного агрегата с жесткими звеньями, можно воспользоваться методом аппроксимации силового передаточного отношения кусочно-постоянными функциями (см. подробнее также п. 25). При наложении на коэффициенты системы ограничений типа

Рассмотренный пример показывает весьма высокую сходимость приближений. При этом предполагалось, что силовое передаточное отношение является кусочно-постоянной функцией yk+l. Учет зависимости силового передаточного отношения от скорости в данном случае не вносит в результаты расчета существенных изменений. Такой расчет, выполненный на ЭЦВМ с использованием аппроксимации силового передаточного отношения кусочно-постоянными функциями, показал уточнение по моменту

Указанным выше требованиям удовлетворяет в значительной мере метод решения системы уравнений движения машинного агрегата, основанный на аппроксимировании нелинейных зависимостей кусочно-постоянными функциями (см. п. 25). Воспользуемся системой дифференциальных уравнений движения в форме (46.5), приняв следующие обозначения:

Воспользуемся для элементов матрицы С (ср, у 2) методом аппроксимации кусочно-постоянными функциями в соответствии с формулами (25.6). Допустим, что условия аппроксимации (25.3), (25.4) выполнены

39. В е и ц В. Л. Решение уравнения движения машинного агрегата, основанное на аппроксимации нелинейных зависимостей кусочно-постоянными функциями.—Механика машин, вып. 9—10. М., изд-во «Наука», 1967, с. 27—38.

47. Решение системы уравнений движения машинного агрегата методом аппроксимирования нелинейных зависимостей кусочно-постоянными функциями.............. 302

В системе дифференциальных уравнений (8.12) элементы {B}jik+1, {С1}/, ?+1. / = k, k + 1, k + 2, матриц В, С и компоненты S/ (у?+1), / = = k, k + 1, k + 2, вектор-функции 5 (YA+I) являются кусочно-постоянными функциями управляющего воздействия уй+1. Таким образом, для систем с нелинейностью, встроенной в соединение, система уравнений движения является дифференциальной с кусочно-постоянными коэффициентами [29].

Пусть система дифференциальных уравнений (8.12) имеет периодическое решение, период которого Т равен периоду внешнего воздействия — вектор-функции F (t). Предполагаем, что в пределах периода Т элементы матриц В, С и компоненты вектор-функции S (у, Y) терпят а разрывов. Очевидно, что в этом случае элементы матриц В, С и компоненты вектор-функции S (у, у) являются кусочно-постоянными функциями периода Т. Указанное позволяет воспользоваться двухиндексной индексацией в обозначениях последовательности моментов времени и величин, участвующих в построении решения системы дифференциальных уравнений (8.12). Если [t^\ — последовательность моментов времени изменения режимов, то в силу периодичности выполняется условие

является суммой квадратов скоростей vt с постоянными коэффициентами m.i/2. Рассмотрим, как изменится выражение Т при переходе к «новым» координатам qlt . . . , qn.

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все q, одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из 4/ отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов,

Уравнения (15) отличаются от общего случая системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами только тем, что матрица А не произвольна, а всегда является матрицей положительно определенной квадратичной формы.

с постоянными коэффициентами:

Если •Очо=0 или •dio=const и Au=consi, то уравнения (5.99) — (5.Ш2) есть линейные уравнения с постоянными коэффициентами, так как в обоих этих случаях элементы х<о матрицы Ах—постоянные числа и, например, при •dio=const равны:

можные резонансные режимы три известных частотах возмущений, действующих на стержень, и варьированием конструктивных параметров стержня их избежать. При проектировании упругих элементов (задачи синтеза), например частотных датчиков стержневого типа (рис. В. 7 — В.9), требуется определить размеры стержня при заданных механических характеристиках материала стержня, чтобы, например, первая частота была равна заданной. Точность работы приборов времени, использующих упругие стержневые элементы, во многом зависит от точности расчета спектра частот упругого элемента. Формы колебаний дают возможность решать приближенными методами сложные задачи динамики стержней, как линейные, так и нелинейные. В настоящее время разработано много методов определения частот систем с распределенными параметрами, которые можно разделить на две группы: точные и приближенные. В свою очередь, точные методы включают в себя: 1) точные аналитические методы, например метод Фурье для решения линейных уравнений, допускающих разделение переменных как для уравнений с постоянными коэффициентами, так и для уравнений с переменными коэффициентами, решение которых может быть представлено в специальных функциях, и 2) точные численные методы (например, метод начальных параметров, метод прогонки и т. д) . В тех случаях, когда требуется определить только частоты колебаний стержня, более эффективными являются приближенные методы, например метод, использующий принцип возможных перемещений.

Решение уравнений при нестационарных колебаниях. В предыдущем параграфе были рассмотрены случайные силы и вызванные ими случайные колебания, когда вероятностные характеристики сил и компонент вектора состояния стержня [Zc(e, т)] во времени не изменялись. Такие случайные колебания называются стационарными случайными колебаниями. Они возможны, когда время переходного процесса много меньше времени рабочего режима. Кроме того, стационарные колебания возможны только в том случае, когда уравнения колебаний стержня есть уравнения с постоянными коэффициентами, а нагрузки, действующие на стержень, представляют собой стационарные случайные функции.

Очень часто в реальных задачах большой практический интерес представляет переходный режим колебаний от момента приложения нагрузки до выхода системы на установившийся режим (стационарный режим, если он возможен) или до определенного момента времени. Например, если на стержень действует внезапно приложенная случайная по направлению и модулю сила и требуется выяснить, как будет двигаться стержень после ее приложения, то считать движение (колебания) стержня стационарными нельзя даже в том случае, если сила является стационарной случайной функцией. В общем случае случайные силы, действующие на стержень, могут быть любыми, в том числе и нестационарными, случайными функциями, у которых вероятностные характеристики зависят от времени. В этом случае вероятностные характеристики решений уравнений колебаний стержня (в том числе и уравнений с постоянными коэффициентами) также зависят от времени, т. е. являются нестационарными. Это существенно осложняет решение, так как воспользоваться спектральной теорией нельзя.

Общее решение уравнения (4) имеет вид (для уравнений с постоянными коэффициентами)

Именно «устойчивость формы» гармонических колебаний по отношению к широко распространенному классу линейных систем и определяет то исключительное положение, которое занимают гармонические колебания среди всех других форм колебаний. «Устойчивость формы» играет решающую роль не только в случае гармонической внешней силы, когда эта «устойчивость» позволяет заранее утверждать, что в линейной системе вынужденные колебания будут гармоническими, и тем самым свести задачу о вынужденных колебаниях только к определению амплитуды и фазы гармонического вынужденного колебания. Так как в линейных системах справедлив принцип суперпозиции, то и в случае негармонической внешней силы решение задачи о вынужденных колебаниях легко находится: разложив негармоническую внешнюю силу в гармонический спектр, можно свести задачу к предыдущей — определению амплитуд и фаз вынужденных колебаний, возникающих под действием гармонических составляющих спектра внешней силы. Именно то, что в линейных системах, описываемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и являющихся очень широко распространенным классом систем, имеют место как «устойчивость формы» гармонических колебаний, так и принцип суперпозиции, придает исключительный физический интерес математическому приему разложения периодической функции в спектр, т. е. именно в гармонический ряд, а не в ряд каких-либо других функций.

ми системами алгебраических уравнений с переменными коэффициентами, решение которых строится с помощью процедуры последовательных приближений [191. Упругому, вязкоупругому фиктивным телам и вязкой фиктивной жидкости соответствует бесконечная система алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Решение ее строится с помощью процедуры последовательных приближений, сущность которой сводится к следующему. В первом приближении полагаем т =- п -- р — I =•- 1. Имеем четыре уравнения с четырьмя неизвестными параметрами А1П1, ..., Dnn, решая которые находим параметры. Во втором приближении полагаем, что каждый из индексов т, л, р, I принимает два значения (1 и 2). В этом случае имеем 64 уравнения с таким же числом неизвестных параметров, решая которые, находим искомые параметры. Последующие приближения строятся аналогично, однако в этом нет необходимости, так как второе приближение обеспечивает точность решения в пределах 5%. В результате находим компоненты корректирующего тензора. Суммируя основной и корректирующий тензоры, получим тензор кинетических напряжений для упругого, вязкоупругого тел и вязкой жидкости.