Построения поверхности

Изложенный1 выше анализ решения может быть использован для построения поверхностей локального разрушения, .потери устойчивости и полного разрушения в пространстве ?и, Я2, ..., Я„ (кривая в этом пространстве Ki=*Kt(t), л2 = Я2(^), ..., Я„ = Я„(?), проходящая через начало координат V~X-j = ... = 0 при t = 0 определяет путь иагружения тела) (см. также [7, 242J).

Есть возможность построить незамкнутую поверхность Безье и использовать ее в топологических операциях с телами. Чтобы не обременять конструктора сложным инструментом поверхностного моделирования, в математическом аппарате пакетов твердотельного моделирования реализованы некоторые упрощенные функции построения поверхностей по образующим линиям. Эти поверхности преобразуются в тела ограниченного объема и могут использоваться в топологических операциях с телами. Например, из любого твердого тела можно вычесть объем, ограниченный

и K't{2aa — коэффициент корреляции теории и эксперимента. Индексы аир обозначают растяжение и сжатие; индексом / отмечены свойства слоя. Для изотропного материала коэффициент /Gi2 равен 1, и уравнение (4.27) превращается в условие пластичности (критерий энергии формоизменения) Ми-зеса. Коэффициент К'[12а& учитывает разносопротивляемость материала растяжению и сжатию и, кроме того, обеспечивает изменение связи между напряжениями в критерии. Как и другие критерии прочности, рассмотренный критерий может быть объединен с теорией слоистых сред и использован для построения поверхностей прочности слоистых композитов. Уравнение (4.27) в этом случае применяется для каждого слоя раздельно.

Способы построения поверхностей агрегатов. В процессе производства автомобиля, самолета, ракеты или судна необходимо обеспечить максимально возможную точность выполнения их внешней формы. Единой методики построения поверхностей агрегатов изделий нет.

ния и построения поверхностей агрегатов: графический и графоаналитический.

Приведем порядок расчета параметров потока в контрольных сечениях 1 — 1 и 2 — 2, а также построения поверхностей тока в сту-

Рис. 106. Схемы построения поверхностей тока в ступени с раскрытием проточной

Изложенный выше анализ решения может быть использован для построения поверхностей локального разрушения, потери устойчивости п полного разрушения в пространстве Я(, Я2, ..., Я„ (кривая в этом пространстве Ач'^АцШ, Л2 = Я2(?), ..., Я„ = А.„(?), проходящая через начало координат A^'—A/z•=... = О при t = Q определяет путь иагружения тела) (см. также [7, 242]).

Наиболее наглядным является следующий способ построения поверхностей анизотропии. Отложим от произвольного начала координат радиусы-векторы, изображающие величину какой-либо механической характеристики материала в соответствующем направлении. Полученная геометрическая фигура изобразит изменение рассматриваемой характеристики в зависимости от направления усилия в материале.

из анизотропных материалов. Графическое представление анизотропии какого-либо механического свойства позволяет систематизировать экспериментальные данные в наиболее наглядном для конструктора и технолога виде. Получаемые при этом пространственные фигуры называются диаграммами или поверхностями анизотропии. Различие между диаграммами и поверхностями заключается в том, какая система координат применяется — прямоугольная или полярная. В справочнике приведены диаграммы и поверхности анизотропии для различных конструкционных материалов. В тех случаях, когда не оказалось достаточного числа исходных характеристик для построения поверхностей, приведены графики (в декартовых координатах) или кривые (в полярных координатах) для одной из плоскостей симметрии материала. Диаграммы, поверхности и кривые строятся в этой главе для характеристик упругой деформативности, а в главе 3 и для характеристик прочности материалов по той же методике. При этом используются экспериментально определенные характеристики материала в главных и диагональных направлениях и аналитически подсчитанные их величины в промежуточных направлениях.

По данным п. 2.6 и по формулам, приведенным в п. 2.2, рассчитаны координаты точек для построения поверхностей анизотропии характеристик упругих свойств древесины. Числовые значения координат точек этих поверхностей, т. е. величины характеристик упругости в направлениях, различно ориентированных по отношению к трем осям симметрии древесины, даны в табл. 2.14—2.17. Диаграммы анизотропии построены в декартовых координатах. В соответствии с принятым на рис. 2.12 обозначением углов на всех диаграммах направление оси х' совпадает с направлением волокон а при 0=0 и ф = 0, с радиальным направлением г при 6 = 0 и Ф =90° и с тангенциальным направлением t при 0 = 90° и ф = 0.

Для построения поверхности распределения амплитуд гармонических составляющих была разработана программа в системе MatLab. При этом были созданы матрицы параметров гармоник и координат точек, нанесенных на поверхность образца. По значениям матриц производилась интерполяция с помощью функции griddata [99]. На рисунке 3.5.4 показаны картины распределения амплитуд 1-й, 2-й, 3-й и 5-й гармоник вдоль поверхности плоского нагруженного образца из стали 16ГС с концентратором напряжения в виде бокового пропила. В ненагруженном состоянии образца изменения амплитуд гармонических составляющих незначительны. Значительные изменения присутствуют у краев пропила, что связано с влиянием краевого эффекта. Причем амплитуды различных гармоник по-разному реагируют на неоднородности поверхности и внутренней структуры образца. После приложения нагрузки отклик в зоне зарождения трещины присутствует у всех гармоник.

Для построения поверхности распределения амплитуд гармонических составляющих была разработана программа в системе MatLab. При этом были созданы матрицы параметров гармоник и координат точек, нанесенных на поверхность образца. По значениям матриц производилась интерполяция с помощью функции griddata [99]. На рисунке 3.5.4 показаны картины распределения амплитуд 1- и, 2- и, 3- и и 5- и гармоник вдоль поверхности плоского нагруженного образца из стали 16ГС с концентратором напряжения в виде бокового пропила. В ненагруженном состоянии образца изменения амплитуд гармонических составляющих незначительны. Значительные изменения присутствуют у краев пропила, что связано с влиянием краевого эффекта. Причем амплитуды различных гармоник по-разному реагируют на неоднородности поверхности и внутренней структуры образца. После приложения нагрузки отклик в зоне зарождения трещины присутствует у всех гармоник.

Для однонаправленного композита константы Sie и S w обращаются в ноль. Используя основные упругие константы материала, можно^вычислить S[j, a затем величины деформаций, соответствующие выбранным пределам прочности; эти результаты используют для построения поверхности разрушения при отсутствии сдвига во всех четырех квадрантах в плоскости разрушения при отсутствии сдвига во всех четырех квадрантах в плоскости главных напряжений. Отдельно рассчитывают предельные деформации, соответствующие чистому сдвигу. Эти значения используют теперь в качестве критерия максимальных деформаций для определения допустимых нагрузок и напряжений в слое и в материале в целом.

Форму поверхности прочности, соответствующую любому феноменологическому критерию, невозможно полностью определить до тех пор, пока экспериментально не исследованы все возможные напряженные состояния среды. Если экспериментальные точки лежат далеко друг от друга, то поверхность прочности может показаться гладкой, в то время как более тщательные эксперименты могут выявить более тонкую и сложную структуру. Хорошо известным примером являются экспериментальные работы последних лет, когда были открыты угловые точки на изотропной поверхности текучести. Однако в действительности степень точности построения поверхности прочности представляет собой компромисс между требованиями инженерной практики и имеющимися в распоряжении экспериментатора средствами и временем. Следовательно, математическая модель .должна служить руководством при выявлении нерегулярностей формы поверхности прочности и в то же время должна быть такой, чтобы ее можно было легко упростить и приспособить к исследованию данного конкретного материала в данных условиях.

Количество экспериментальных данных, необходимое для построения поверхности прочности даже в простейшем случае плоского напряженного состояния, т. е. в трехмерном пространстве напряжений (ai, 02, cie), огромно. Количество необходимых экспериментов можно уменьшить за счет эвристических соображений о возможной форме поверхности прочности; эти соображения могут вытекать из математической модели критерия разрушения. Ясно, что исследованию в первую очередь подлежат только наиболее характерные напряженные состояния.

Цель планирования эксперимента состоит в том, чтобы установить минимальное количество основных независимых экспериментов, необходимых для построения поверхности прочности с приемлемой точностью. Если математическая модель фиксирована, то совокупность основных экспериментов полностью определяет поверхность прочности. Проверка этого утверждения путем проведения дополнительных независимых экспериментов служит подтверждением работоспособности выбранной модели. При последующем построении критерия разрушения для других композитов можно использовать уже отработанную методику (ставить только основные эксперименты), не проводя большого количества дополнительных контрольных экспериментов.

Для экспериментального построения поверхности прочности необходимо провести эксперименты на растяжение, сжатие, чистый сдвиг и комбинированное нагружение. Содержательный обзор и экспериментальное сравнение многочисленных методик, предложенных для испытания композитов, в том числе испытаний на растяжение, сжатие, изгиб и кручение стержней с анализом геометрии образца и конфигурации захватов, приведены в работе Лено [29].

Окончательное подтверждение предложенной методики построения поверхности прочности с использованием минимально необходимого количества основных экспериментов может быть получено из анализа испытаний композитов с высокой степенью анизотропии. С этой целью рассмотрим результаты, полученные By [53] для слоистого композита, состоящего из графитовых волокон (Morganite II) и эпоксидной матрицы (производство Уит-текер Корпорейшн). Данные о прочностных свойствах этого композита были получены из экспериментов, при проведении которых особое внимание обращалось на обеспечение необходимых

к построению феноменологического критерия разрушения, заданная точность которого определяет минимальное количество основных экспериментов для данной ориентации материала. Необходимость обоснованного анализа экспериментальных данных возникает, когда (1) проводятся дополнительные эксперименты для проверки надежности построения поверхности прочности; (2) повторно проводятся основные эксперименты для различных ориентации материала с целью или подтверждения полученных результатов, или проверки свойств преобразования тензоров поверхности прочности; (3) желательно привести все экспериментальные данные к небольшому набору констант для справочных целей и технических приложений.

(1) Для эмпирического построения поверхности разрушения больше не требуется проведение обширных испытаний в условиях комбинированного нагружения. Критический объем гс, который является характеристикой данного композита, можно определить из такого простого эксперимента, как разрушение при чистом растяжении. При любом другом простом или сложном нагружении разрушение можно охарактеризовать на основе анализа напряжений в кончике трещины и феноменологического критерия разрушения.

деленные с учетом сдвиговой нелинейности, для построения поверхности прочности в зависимости от вида критерия получим различные результаты. Предельная поверхность, соответствующая, например, полиномиальному критерию (уравнение (3.1)), может существенно не изменяться. Анализ и эксперименты, выполненные в работах [13, 18], показывают, что во многих случаях эффект от учета нелинейности при оценке предельных состояний не оправдывает затраченных усилий.