Построения приближенных

Ввиду сложности получения экспериментальных данных для построения предельных кривых последние обычно заменяют прямыми.

Ввиду сложности получения экспериментальных данных для построения предельных кривых последние обычно заменяют прямыми.

Совместное использование принципов нормальности и выпуклости удобно для построения предельных поверхностей (рис. 1.5), пригодных для проектирования на основании малого числа экспериментальных точек.

Теоретически предсказанные деформационные зависимости и предельные напряжения для различных слоистых композитов сравниваются с результатами испытаний этих материалов в условиях плоского напряженного состояния. Указаны преимущества и недостатки основных типов образцов и соответствующего оборудования, используемого для создания плоского напряженного состояния. При сравнении методов построения предельных поверхностей слоистых композитов особое внимание уделено областям их применения, удобству использования, требованиям к исходным параметрам и тонкостям описания этими методами прочностных свойств реальных композитов. Поскольку большинство методов ограничивается построением предельной поверхности и, следовательно, позволяет предсказать только условия, но не вид разрушения, в главе преобладает макроподход. Оказалось, что ни один из рассмотренных методов не обнаруживает хорошего соответствия с результатами экспериментов и, следовательно, не может быть рекомендован для использования при проектировании ответственных силовых конструкций из композитов. Причина этого заключается, по-видимому, в малочисленности экспериментальных данных и несовершенстве существующих подходов; в частности, ни один из подходов не учитывает влияние последовательности укладки слоев на напряженное состояние композита. До сих пор остается неисследованным механизм перераспределения нагрузок со слоев композита, в которых достигнуто предельное состояние, на остальные слои материала.

В главе обсуждаются методы и результаты испытаний слоистых композитов в условиях плоского напряженного состояния в свете существующих теорий пластичности и прочности этих материалов. Коротко рассмотрены наиболее общие критерии предельных состояний анизотропных квазиоднородных материалов и различные варианты их применения для построения предельных поверхностей слоистых композитов; оценена точность описания при помощи этих критериев имеющихся экспериментальных данных В качестве самостоятельного раздела изложены основы теории слоистых сред. Так как рассмотренные методы предсказывают главным образом начало процесса разрушения, в докладе преобладает макроскопический подход. Однако в ряде случаев затрагиваются и вопросы, связанные с развитием процесса разрушения. Рассмотрены основные типы образцов для создания двухосного напряженного состояния, подчеркнуты их преимущества и недостатки. Показано, что сравнительно хорошее совпадение расчетных и экспериментально измеренных предельных напряжений наблюдается для методов, учитывающих изменение характеристик жесткости слоев композита в процессе нагружения вплоть до разрушения. Основное внимание в главе уделено соответствию предсказанных и экспериментально полученных данных. Высказаны некоторые соображения о целесообразных направлениях дальнейших исследований.

Критерий прочности, предсказывающий разрушение при достижении предельного значения энергией деформирования, выраженной через компоненты деформации, предложен недавно Сандху [26]. Большинство методов построения предельных поверхностей слоистых композитов предполагает линейность деформационных свойств однонаправленного слоя при использовании теории слоистых сред для анализа напряженного состояния, методы же, предложенные Сандху [26] и Петитом и Ваддоупсом [19], на самом деле дают возможность учесть нелинейность поведения материала слоя.

Как правило, обсужденные выше методы построения предельных поверхностей основаны на представлении слоистого композита в виде составного анизотропного материала, и для построения предельных поверхностей используют свойства слоя, критерий прочности слоя и теорию слоистых сред, позволяющую осуществить переход от напряжений и деформаций композита к напряжениям и деформациям в любом слое. В противоположность этому Пуппо и Эвенсен [27] предложили в своем подходе рассматривать слоистый композит как однородный анизотропный материал, введя коэффициенты взаимодействия и понятие о главных осях прочности. Еще один метод оценки прочности слоистого композита как квазиоднородного материала был предложен By и Шойблейном [28].

Перейдем к обсуждению методов построения предельных поверхностей для слоистых композитов, использующих различные критерии прочности.

В сущности все методы построения предельных поверхностей слоистых композитов предполагают использование линейно упругого подхода при определении напряженного состояния материала. Из этого однозначно следует, что для слоя достижение предела текучести равносильно исчерпанию несущей способности. В результате расчетная диаграмма о (s) композита получается или линейной или кусочно линейной, если отдельные слои, составляющие композит, достигают предельного состояния еще в процессе нагружения, до разрушения композита в целом. Многие из практически используемых видов однонаправленных композитов в действительности деформируются нелинейно при действии касательных напряжений и напряжений, перпендикулярных направлению армирования. В результате и диаграмма деформирования слоистого композита в целом может оказаться нелинейной. Более того, отдельные слои композита могут обладать

Как и в большинстве методов построения предельных поверхностей слоистых композитов, считается, что разрушение локализовано в слое, для которого выполнен критерий прочности. После изменения упругих свойств разрушенного слоя в соответствии с его новым состоянием снова определяются эффективные значения матриц жесткости и податливости композита. Действующие на композит нагрузки теперь воспринимают слои, в которых предельное состояние еще не достигнуто. Процесс ступенчатого приложения нагрузки повторяется до разрушения слоистого композита в целом. Считают, как правило, что для полной потери несущей способности композитом достаточно, чтобы по крайней мере в двух слоях было достигнуто предельное напряжение (деформация) в направлении волокон.

Для фторопласта-4 и некоторых его композиций на участке установившегося изнашивания выполняется закономерность, полученная при абразивном изнашивании, которую записывают в виде hit = cqv. Это уравнение используют для определения предельного давления втулок из композиционного материала при испытании со ступенчатым повышением нагрузки (критерием служит повышение температуры). Ряд кривых, полученных при разных скоростях скольжения, служит для построения предельных зависимостей q от v.

Для тел более общей формы описанная здесь в общих чертах процедура решения приводит к зависимостям между разностью перемещений и на двух концах каждой нормальной ли->нии и разностью перемещений v на двух концах каждого волокна. В рассмотренном выше простом примере необходимо •было найти значения двух разностей, и это можно было сделать •с помощью простых алгебраических действий. Некоторые нетривиальные задачи, в которых разности перемещений нельзя определить чисто алгебраическим путем, решены Ингландом [7]. Существование решений для тел достаточно произвольной формы было доказано в работе Пипкина и Санчеса [25] при помощи метода, который одновременно может быть использован для построения приближенных решений. Это частично подтверждает высказанное выше предположение о том, что краевые условия корректно поставленной задачи теории упругости приводят также к корректно поставленным задачам теории идеальных композитов.

Для рассматриваемой конкретной задачи, как и вообще для задач устойчивости, непосредственный практический интерес представляет только первое собственное значение, дающее значение критической силы, и первая собственная функция, описывающая форму потери устойчивости. Остальные собственные функции могут быть полезны для построения приближенных решений более сложных задач с теми же граничными условиями.

(<а — частота свободных релаксационных колебаний) используем для построения приближенных решений системы

где изменение полной потенциальной энергии Л5 подсчитывается с точностью до квадратов перемещений системы, отсчитываемых от того начального состояния равновесия, устойчивость которого исследуется. Условие (3.22) используют как для получения линеаризованных уравнений устойчивости, так и для построения приближенных решений (например, с помощью прямых вариационных методов).

Вариационные принципы широко используют для построения приближенных, алгоритмов вычисления собственных частот и форм колебаний при больших п. Кроме того, они позволяют оценить влияние некоторых изменений условий задачи на поведение собственных частот.

В этом пункте описан асимптотический метод нелинейной механики в том виде, в котором он разработан в основном в трудах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [11, 12, 32]. Этот метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналитические решения весьма сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр s. Эффективнее всего применение асимптотического метода для построения приближенных решений нелинейных уравнений, которые при е= О вырождаются в линейные, описывающие гармонический колебательный процесс.

В математической физике методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений, основанные на сведении задач к решению системы алгебраических уравнений, принято называть прямыми методами. Прямые методы широко применяют непосредственно для построения приближенных решений задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных, а также вариационных задач, к которым сводятся соответствующие задачи математической физики.

Для решения систем дифференциальных уравнений переноса разработан целый ряд численных методов и алгоритмов. Хотя эти методы различаются математическими подходами, вычислительными свойствами, имеют свои достоинства и недостатки (и как следствие, в большей или меньшей степени популярны), они обладают одной общей особенностью: все они предназначены для построения приближенных решений исходных уравнений в тех случаях, когда невозможно получить результат в аналитической форме.

даря работе Раиса [60], который весьма изобретательно применил данный интеграл для построения приближенных решений задач о трещинах и надрезах, /-интеграл был подвергнут всестороннему обследованию в большом количестве работ как кандидатура на роль параметра состояния для упругопластиче-ского разрушения1'. Превосходный обзор последующих работ по применению /-интеграла в проблеме хрупкого разрушения недавно опубликован Хатчинсоном [61].

Условие стационарности полной потенциальной энергии 6.9 «= О приводит к дифференциальному уравнению изгиба кольца: как легко проверить, уравнение .(4. 14) является уравнением Эйлера (см. Приложение I) функционала полной потенциальной энергии (4 Л 7). Кроме того, условие &Э = 0 можно использовать для построения приближенных решений 'задач изгиба кольца. . ' -

Аналогичная методика может быть использована для построения приближенных решений более сложных нелинейных задач. Однако трудности вычислений возрастают настолько быстро, что при практических расчетах удается провести исследование лишь для усеченных систем низкого порядка. Для анализа нелинейных уравнений, получаемых путем замыкания по принципу квази-гауссовости, можно рекомендовать метод дифференцирования по параметру нелинейности, т. е. метод сведения к задаче Коши с последующим численным интегрированием по способу Рунге — Кутта.