Построения уравнения

Таким образом, метод Уиттекера дает возможность использовать обобщенный интеграл энергии для исключения времени t из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s — 1 уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которых роль аргумента играет переменная q\ (вместо времени t) и в которые вместо производных qf по аргументу t входят производные q'p по аргументу q\. Для построения уравнений Уиттекера (4.43) следует предварительно построить функцию Уиттекера L'. Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо q\ подставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.3Э). ':

Уравнения (3.11) можно записать для всех внутренних пространственных узлов (п -~- 2, ..., N — 1). Уравнения для и( и u'v получим из граничных условий (3.2). Простейший способ построения уравнений для граничных узлов состоит в замене производных в (3.2) разностными отношениями

Прежде всего отметим, что процедура построения уравнений в МКЭ имеет важную особенность по сравнению с методом конечных разностей. При построении конечно-разностной схемы мы рассматривали уравнение теплового баланса для элементарного объема, построенного около узла сетки с номером т (см. § 3.3), и сразу получали /п-е уравнение общей системы. В случае МКЭ в т-е уравнение системы (4.21) входит сумма производных от функционалов /<">, вычисленных для различных элементов, которые содержат узел с номером т. Поэтому при составлении каждого уравнения надо производить суммирование «вкладов» от разных элементов. Из-за этой особенности процедура построения системы уравнений МКЭ несколько менее наглядна, чем в случае конечных разностей, и при ее первоначальном изучении возникают некоторые трудности. Для простоты изложение начнем с разбора конкретного примера для области, изображенной на рис. 4.8 и состоящей всего из трех элементов, которые содержат пять узлов.

Предполагаем далее, что вектор-функции (7.2) и (7.4) непрерывны и конкретизируем способ построения уравнений поверхностей вида (7.4), считая, что один из параметров ф определяет ось криволинейной поверхности, вообще говоря, также криволинейную, а второй 9 — линию пересечения поверх-

Будем далее предполагать, что вектор-функции (30.2) и (30.4) непрерывны, и конкретизируем способ построения уравнений поверхностей вида (30.4), считая, что один из параметров ф определяет ось криволинейной поверхности, также криволинейную, а второй § — линию пересечения поверхности нормальной к упомянутой выше оси в произвольной ее точке плоскостью.

Достаточно большое внимание в книге уделено математическому обеспечению прогнозных разработок: приводится ряд алгоритмов программ построения уравнений трендовых кривых при экстраполяции, статистической обработки экспертной информации, а также результаты многомерного регрессионного и корреляционного анализа.

Таким образом, надежной основой для определения механических характеристик материалов при различных режимах нагружения и для построения уравнений состояния, пригодных для инженерных расчетов, являются результаты испытания образцов из исследуемого материала при режимах нагружения,. близких к эксплуатационным. Обобщающие результаты таких экспериментальных исследований и построенные по ним фено-

Экспериментальные исследования при имеющей место в плоской волне нагрузки однородной деформации [72, 343, 351] позволяют получить информацию о поведении материала, которая с привлечением для анализа предельных соотношений динамической теории пластичности допускает сопоставление с результатами квазистатических испытаний при одноосном напряженном состоянии и является основой для построения уравнений состояния материала (при отсутствии фазовых переходов [376]) при сложном напряженном состоянии.

Получение уравнений состояния. Для построения уравнений состояния материала при малоцикловом нагружении применяют весьма эффективный метод, основанный на использовании конечных соотношений между напряжениями и деформациями. Теоретической основой этого метода является концепция Ильюшина и Москвитина, согласно которой для большинства реальных условий нагружения и типов конструкций справедливы конечные соотношения. Разработана деформационная теория малоциклового нагружения, являющаяся обобщением теории малых упругопласшческих деформаций. Подтверждением этой теории служат многочисленные экспериментальные данные, а также существование обобщенной диаграммы малоциклового нагружения, установленной экспериментально для большого числа конструкционных материалов.

В книге рассматриваются не все частные виды уравнений повреждений, появившиеся в литературе последних лет, а лишь наи- -более простые, которые с точки зрения автора удобны для их практического применения в инженерных расчетах на длительную прочность. При этом опускается изложение таких методов построения уравнений повреждений, которые связаны с интегрированием по поверхностям или объемам микроструктурных элементов гипотетической среды с целью сложения предполагаемых действий микронапряжений, суммирования направленных повреждений и т. п. В конце концов все подобные операции должны приводить к силовым, иногда быть может и деформационным уравне-

Однако наиболее универсальным и объективным остается метод построения уравнений повреждений на основе экспериментальных данных о разрушении образцов при заданных программах нагружения. В определенных случаях можно фиксировать не момент полного излома образцов, а момент появления видимых трещин. Опыты на длительное разрушение трудоемки, так как для построения кривой статической или циклической усталости необходимо испытать довольно много образцов, увеличению числа которых способствует и явление рассеяния долговечностей, отвечающих одинаковым условиям испытаний. Напомним, что при исследовании деформационных процессов такого большого числа образцов не требуется, так как выборочная диаграмма деформирования или кривая ползучести может быть построена по результатам испытаний только одного образца.

Основная идея метода Дж. Мартино заключается в использовании приемов интерполяции и построения уравнения регрессии. На основе рассмотренных выше приемов составляется модель предшествующего процесса

Для выбранных данных рассчитываются арифметические средние х, у и среднеквадратичные отклонения SSX, SSy. Затем для значений х по заданному числу интервалов разбиения находят границы этих интервалов и определяют число точек, попавших в интервал пх. Далее из значений у для каждого интервала разбиения выбирают ylf соответствующие х, попавшим в t-й интервал. Для каждого такого набора х определяют частные средние ух и среднеквадратичные отклонения частных средних от общей средней у. После такого подготовительного этапа определяют корреляционное отношение т) (5.2), его среднеквадратичную ошибку и строят /-критерий его значимости. Затем рассчитывают коэффициент корреляции г (5.1), его среднеквадратичную ошибку SS-jr} и производят проверку его значимости по t-критерию. Определение tt^-критерия отличия корреляционного отношения от коэффициента корреляции производится по формуле (5.3). Далее по формулам (5.5) строятся ортогональные полиномы Чебышева, определяются коэффициенты регрессии аг (5.7) при них, их среднеквадратичные ошибки 5S {at} (5.8) и /-критерий их значимости (5.9). После построения уравнения по полиномам ф; (Xj) делается переход к уравнению по степеням х (5.4).

5. Использование в качестве алгоритмов многомер-'0 регрессионного анализа, метода шаговой регрес-ги метода включения [21 ], при которых построение •рессионного уравнения производится псследова-:ьно по мере поэтапного выделения существенного хтора, дает возможность на основе анализа уменьше-я остаточной суммы квадратов и приращения доли ьясненной вариации выделить основные параметры, :дение которых в модель целесообразно. Ограниченный объем исходных данных не дает воз-жности использовать методы статистического моде-рования для поиска некоторого оптимального сплава, этом случае необходимо привлечение методоз плани-зания экспериментов. При этом априорная информа-я, извлекаемая из анализа банка данных, позволяет хнованно выбрать факторное пространство, основ-я уровень и границы области экспериментирования км. Примеры прогнозирования оптимальных соста-з многокомпонентных литейных сталей с заданным мплексом свойств на основе использования информа-и, получаемой в результате обработки банка данных, ганизованного по литературным источникам, в соче-г[ии с методами экстремального планирования экс-риментов приведены в работе [23]. Чувствительность многомерного регрессионного ана-за к нарушению исходных предпосылок, особенно корреляции между входными параметрами, привела многообразию алгоритмов построения многомерной грессии. Наиболее целесообразны из них алгоритмы, ализующие методы шаговой регрессии, включения, ключения, ортогонализации независимых перемен-IX, построения уравнения по заданному набору фак-ров. В общем случае перечисленные алгоритмы при-дят к неоднозначным результатам. Поэтому оконча-льный выбор модели производится исследователями. Построение адекватной математической модели дает зможность переходить к прогнозированию некоторого [Тимального состава сплава, обеспечивающего полу-ние требуемого комплекса свойств [23]. Кроме того, >и моделировании и прогнозировании составов спла-»в могут применяться различные алгоритмы распознания образов. В этом случае информационный массив, сгавляемый банком данных, представляет собой обу-

При сложном напряженном состоянии материала связь напряжений и деформаций в теории пластичности определяется связью эквивалентных напряжений и деформаций — их интен-сивностей. Такой подход используется и при высокоскоростной деформации. Действие интенсивных упруго-пластических и ударных волн характеризуется включением дополнительного параметра — высокого уровня среднего напряжения, которое может оказать влияние на кривую связи интенсивностей напряжений и деформаций. В связи с этим экспериментальное определение влияния величины гидростатического давления на кривую деформирования является необходимым для построения уравнения состояния материала, описывающего его упруго-пластическое деформирование при импульсных нагрузках типа удара и взрыва.

Непосредственное использование выражения (5. 3) для построения уравнения движения системы приводит к весьма сложному нелинейному дифференциальному уравнению даже для простейшей одномассовой системы, показанной на рис. 5. 7, а. Действительно, подставляя найденное значение Т в уравнение Лагранжа

При малых выборках испытуемых образцов возможность раздельной статистической обработки для каждого уровня напряжений отпадает, и экспериментальные данные, относящиеся к уровням стопроцентного разрушения образцов, должны обрабатываться совместно. По этим данным согласно известным правилам [80, 81 ] строится кривая регрессии, и на каждом уровне напряжений устанавливаются ее доверительные границы. В предположении нормального распределения долговечностей могут быть приближенно указаны и кривые заданных вероятностей разрушения. Возможности статистической обработки экспериментальных данных в той области напряжений, где стопроцентного разрушения образцов не наблюдалось, по-видимому, не существует, и некоторое представление о кривых равных вероятностей разрушения может дать лишь упомянутая экстраполяция. Если в качестве функционального параметра уравнения повреждений используется кривая статической или циклической усталости, отвечающая определенной вероятности разрушения, то можно считать, что и при нестационарном нагружении теоретическое условие П = 1 отвечает той же вероятности разрушения. В том случае, когда наряду с уравнением кривой усталости для построения уравнения повреждений требуется знать еще и разрушающее напряжение ар, являющееся случайной величиной, приходится предполагать, что быстрое и длительное разрушения являются взаимосвязанными событиями, появляющимися всегда с одной и той же вероятностью. Поэтому из распределений долговечностей и пределов прочности можно выбирать всегда одни и те же квантили.

Использование силовых уравнений повреждений предполагает предварительную схематизацию режима действующих напряжений. Этот режим должен быть приведен к набору блоков регулярных циклов, в крайнем случае, к набору отдельных регулярных циклов, характеризующихся определенными значениями атах и /?. Такая необходимость связана с тем, что нужные для построения уравнения повреждений кривые усталости получаются на основе испытаний при стационарных и регулярных режимах циклического нагружения. В случае линейного напряженного состояния и детерминированного режима нагружения указанная схематизация может производиться различными способами, из которых мы остановимся на распространенном в настоящее время и уже упоминавшемся способе «падающего дождя». На рис. 4.9 показан произвольный нерегулярный режим нагружения, причем предполагается, что сток жидкости направлен по оси времени. Рассмотрим вершину А на скате АВ и мысленно пустим жидкость по скатам, как показано стрелками. Справа

Рассмотрим область перехода от малоцикловой усталости к многоцикловой, в которой число циклов составляет обычно несколько десятков тысяч. Трудность построения уравнения повреждений для этой зоны долговечностей состоит в том, что в этом случае пластические деформации имеют значения того же порядка, что и упругие деформации, поэтому выделение тех и других оказывается иногда затруднительным. В силу этого обстоятельства имеется целый ряд таких эмпирических уравнений кривой малоцикловой усталости для жесткого нагружения, которые учитывают не пластическую, а полную деформацию [18, 33, 41 ]. Однако при построении энергетического уравнения повреждений необходимо исходить из необратимой работы деформирования (таким образом, учет пластической деформации в той или иной форме необходим).

Рассмотрим применение для общего нестационарного случая метода построения уравнения кинетики процесса и различных приближений теории возмущений [73] . С этой целью, воспользовавшись (1.2), перепишем уравнение (1.1) в следующем виде:

Для построения уравнения кинетики процесса используем разложение возмущенной функции f'(r, т) по собственным функциям квазистационарного уравнения, представляющего собой модификацию уравнения (1.1) в невозмущенной среде:

Есть ряд физических процессов, в которых твёрдое тело плавится и затем испаряется. Поэтому любое уравнение состояния, претендующее на описание свойств веществ в широком диапазоне изменения давления и плотности, должно описывать свойства вещества в области смеси жидкости и пара. Здесь будут рассмотрены вопросы построения уравнения состояния в области смеси жидкость — пар в основном так, как они излагаются в [28] — [30].

Рекомендуем ознакомиться:

Поперечных составляющих

Поперечными отверстиями

Поперечным движением

Поперечным скольжением

Поперечная жесткость

Поперечная составляющая

Поперечной нагрузкой

Поперечной составляющей

Поглощения углекислого

Поперечное сканирование

Поперечного перемещений

Поперечном нагружении

Меню:

Главная страница Термины