Полиномиальной формулировки

Рассмотрены особенности применения метода кусочно-полиномиальной аппроксимации при воспроизведении квадратичной и линейной функций преобразования в случае, когда возникает необходимость передачи информационных сигналов по каналу связи.

48. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАШИННОГО АГРЕГАТА МЕТОДОМ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИВЕДЕННОГО МОМЕНТА

48. Решения уравнения движения машинного агрегата методом полиномиальной аппроксимации приведенного момента . . . 315

Значения спектра вычисляли в дискретных энергетических интервалах, выбранных с учетом реальной функции разрешения кристалла стильбена; калибровку энергетической шкалы спектрометра осуществляли при помощи моноэнергетических источников фотонов (электронов). Методом наименьших квадратов находили коэффициенты полиномиальной аппроксимации зависимости Езл(У) [V—номер канала анализатора, Еэл — максимальная энергия комптоновских электронов в стильбене].

Математическую зависимость газовыделения оксидов углерода, оксидов азота или фенола, а также значения коэффициентов а, Ъ, с определяли методом полиномиальной аппроксимации экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.

Изображение полиномиального коэффициента (image of polynomial coefficient) При использовании полиномиальной аппроксимации в каждом пикселе исходной последовательности определяют набор полиномиальных коэффициентов и строят соответствующие изображения

Выявляемоеть дефектов. После выполнения того или иного алгоритма полиномиальной аппроксимации дальнейшую обработку можно применять как к восстановленной последовательности, очищенной от шумов, так и к изображениям коэффициентов Ak{i,j), Ax(i,j), A2(i,j).

* Низкие значения 5" объясняются тем, что при полиномиальной аппроксимации дефекты могут выглядеть как "теплее", так и "холоднее" фона.

Например, стандартный образец иконы на дереве (рис. 9.17), был изготовлен согласно древним итальянским рецептам и включал 4 дефекта в виде фторопластовой пленки, расположенной между различными слоями [121]. В процессе ТК дефекты получили . следующие наименования: № 1 - "Пузырьки", № 2 - "Стержень", № 3 - "Точка" и № 4 - "Слеза". Некоторые результаты развитой обработки данных были рассмотрены в п. 5.8.1 при описании способа полиномиальной аппроксимации.

чувствительности, полиномиальной аппроксимации и составлении карт характерных времен теплопередачи (см. п. 5.10.3). Последнее достижение фирмы: разработка программного продукта МО-SAIQ, который позволяет синтезировать крупномасштабные изображения больших поверхностей контроля (фюзеляжа самолета) из набора отдельных термограмм.

а - исходная термограмма через 2,5 с после окончания нагрева, ?=1,29 (идентично рис. 5.20, а); 6 - максиграмма после полиномиальной аппроксимации и нормализации, /S=3,51; в - дефектная карта, Pccl=&0%, Pja =3%

Для получения математической модели вида (8.1) можно использовать и иной подход, основанный на кусочно-полиномиальной аппроксимации функции ф(^1, Х2, ..., Хп) с помощью сплайнов (см. разд. 5 книги 1). При использовании сплайн-аппроксимации нет необходимости задавать вид функции ф (X], Х2,..., Хп) или ее разложение (8.2), но возникает проблема выбора порядка сплайна k (порядка используемого полинома), числа и положения его узлов.

Критерий максимальной деформации, записанный в виде (146), представляет собой вырожденный случай общей тензорно-полиномиальной формулировки (10); коэффициенты, входящие в развернутую форму условия (146), подчиняются обычным правилам преобразования компонент тензоров. (20)

Сравнивая коэффициенты в левой части уравнения (23в) с коэффициентами тензорно-полиномиальной формулировки ((56) или (5в)), получаем для компонент тензоров поверхности прочности следующие выражения:

Критерий максимальной деформации можно представить как частный случай тензорно-полиномиальной формулировки в напряжениях, получающийся непосредственным переходом от тензоров поверхности прочности по напряжениям к тензорам поверхности прочности по деформациям. (26)

Поскольку математическая структура критерия максимального напряжения идентична структуре критерия максимальной деформации, при анализе данного критерия с позиций основных требований, предъявляемых к математической модели, мы обнаружим те же недостатки, которые были отмечены для критерия максимальной деформации. Мы не будем заниматься повторным перечислением этих недостатков; отметим только еще раз, что критерий максимального напряжения представляет собой вырожденный случай тензорно-полиномиальной формулировки. Он инвариантен относительно преобразований координат, но чрезвычайно громоздок и не обладает достаточной гибкостью для описания поверхностей прочности общего вида. Этот критерий представляется удобным для описания прочностных свойств композитов, армированных в двух взаимно перпендикулярных направлениях и обладающих весьма малыми модулями упругости. Но даже для подобных материалов отношения пределов прочности должны удовлетворять условиям (Зба) —(Збе).

ходится в прямом противоречии с последующими экспериментами Бриджмена [8], в которых испытывались анизотропные кристаллические материалы и было установлено, что явление текучести наступает при действии только гидростатического давления. Следует отметить, что, хотя это в явном виде и не утверждалось, критерий Мизеса — Хилла был предназначен для описания подвергнутых обработке в холодном состоянии металлов, степень анизотропии которых достаточно мала по сравнению с современными композитами. Таким образом, в тех применениях критерия Мизеса, для которых он был предложен, погрешности, вносимые гидростатическим давлением, могли быть незначительными. Поправки на влияние гидростатического давления в случае композитов с ярко выраженной анизотропией можно найти путем приведения тензорно-полиномиальной формулировки к критерию Мизеса — Хилла. Сохранив в выражении (56) л-ишь квадратичные по напряжениям слагаемые, приведем критерий разрушения к виду

Критерий Мизеса — Хилла представляет собой вырожденный случай тензорно-полиномиальной формулировки в напряжениях, когда не учитывается влияние гидростатического давления. (43а)

Вычисление того же предела прочности при использовании тензорно-полиномиальной формулировки (например, при сохранении линейных и квадратичных по напряжениям слагаемых в уравнении (56)) требует перехода от F,- и F{j к F\ и р'ц, как и при вычислении ац. Кроме того, предел прочности при одноосном напряженном состоянии нельзя найти простым обращением,, здесь требуется решить алгебраическое уравнение второй степени типа (9). Не учитывая условия устойчивости (Дай и By [46]), Ашкенази отметила, что при решении квадратичного уравнения для некоторых направлений в материале могут предсказываться бесконечные пределы прочности: По-видимому, именно это обстоятельство явилась причиной определения характеризующих прочность постоянных формулами (666). На самом же деле, если при определении F\% учесть значительный разброс экспериментальных данных, то бесконечных пределов прочности не получится (By [53]).

где Ft, F{j, . . . , а, р, у. • • • — постоянные, определяемые из экспериментов. Общность уравнения (72), по-видимому, не превышает общности тензорно-полиномиальной формулировки (5), поскольку эффект введения постоянных а, р, у, . . . может быть перекрыт путем использования полиномов достаточно высокого порядка. В качестве примера исследуем частный случай, рассмотренный Гольденблатом и Копновым [18], в котором выбираются следующие показатели степени:

Тензорно-полиномиальная формулировка лишена этих недостатков (см. формулы (8)), а оперировать с ней намного проще. Таким образом, критерий Гольденблата и Копнова также можно считать частным случаем тензорно-полиномиальной формулировки.

где Cj — постоянные материала. Сравнение с квадратичной формой тензорно-полиномиальной формулировки (5в) дает следующую связь тензоров поверхности прочности с коэффициентами уравнения (77):

Подобный критический анализ можно было бы провести и для других квадратичных критериев — Норриса [33], Фишера [15], Франклина [17] и Чамиса [9]. Однако при помощи довольно утомительных алгебраических выкладок можно прийти к выводу о том, что все эти критерии также представляют собой частные случаи общей тензорно-полиномиальной формулировки. После этих замечаний мы можем перейти к общему исследованию тензорно-полиномиальной формулировки критерия, представленной уравнением (5).

В разд. II, В были показаны те достоинства, которыми обладает тензорно-полиномиальная формулировка (5) критерия разрушения анизотропных материалов. Основные преимущества тензорно-полиномиальной формулировки следующие: макси1 мальная гибкость и отсутствие лишних параметров, максималъ-