Положениям равновесия

2) Строим восемь планов скоростей, относящихся к этим положениям механизма.

Таким образом, математически условие правильного выбора S и ф2, соответствующих действительным положениям механизма, выражается системой уравнений

где JM — приведенный момент инерции маховика; J*, Л — приведенные моменты инерции группы выходных звеньев машинного агрегата, соответствующие положениям механизма, когда угловая скорость достигает значений о>тах и (omin.

При постоянном моменте инерции угловая скорость звена приведения достигает экстремальных значений <омакс и оомин в тех положениях, которым на графике рис. 195 соответствуют точки пересечения кривых моментов А1Д и Мс. Если же приведённый момент инерции Уп представляет собой переменную величину, то точки пересечения графиков моментов, соответствующих положениям механизма, в котором угловая скорость достигает своих экстремальных значений, сдвигаются. Этот сдвиг незначителен, и потому для получения более точного результата расчета будем определять величины Д'УП и Д"УП для положений, соответствующих точкам пересечения графиков Мд(ф) и /Ис(ф). Следовательно, в этом случае вычисления можно производить также по формуле (12.10).

Чтобы угол ц за полный цикл работы механизма не получил бы значения ниже заданного, необходимо ось вращения кулачка расположить в зоне, лежащей между крайними лучами (рис. 4.15, в). Кулачок будет иметь наименьшие габариты в том случае, если его ось вращения расположить в точке А пересечения крайних лучей. В результате получено относительное расположение оси поступательного движущегося толкателя и оси вращения кулачка. Для указанных двух крайних лучей, соответствующих двум определенным положениям механизма, угол передачи ц, будет достигать заданного минимума. Эти положения называют расчетными. Для всех остальных положений механизма фактическое значение угла ц. можно получить, соединив выбранную ось вращения кулачка с концами повернутых векторов аналога скорости, т. е. в разных положениях толкателя угол ц принимает свое значение (рис. 4.15, г).

Расчет момента инерции маховых масс оказывается простым, когда допустимо пренебречь влиянием переменной приведенной массы выходных звеньев механизма, полагая J* = const и считая, что экстремальные значения кинетической энергии соответствуют положениям механизма со скоростями юмакс и сомин звена приведения.

Моменты инерции JJj и J* содержат приведенный момент инерции JH маховика и приведенные моменты инерции J\ и J\ выходных звеньев, соответствующие положениям механизма при юмакс и <вмин. После подстановки выражений

2) Строим восемь планов скоростей, относящихся к этим положениям механизма.

При постоянном моменте инерции звена приведения угловая скорость достигает экстремальных значений сотах и o)fflln в тех положениях механизма, которым на графике соответствуют точки пересечения моментов Мд и Мс (фиг. 55). Если же приведенный момент инерции /„ представляет собой переменную величину, то точки пересечения графиков моментов, соответствующих положениям механизма, в которых угловая скорость достигает своих экстремальных значений, сдвигаются. Этот сдвиг незначителен и потому для получения более точного результата расчета будем определять величины А'/„ и А"/„ для положений, соответствующих точкам пересечения графиков Мд (ф) и Мс(ф). Следовательно, и в этом случае вычисления можно по-прежнему производить по формуле (95).

Для построения графика зависимости хс = /х (ф) берем в квадранте б систему осей хс — горизонтальную и ф — вертикальную. Ось ф разделим на 12 равных частей, сообразно рассматриваемым 12 положениям механизма на обороте. Через отмеченные точки на оси ф проводим систему горизонтальных линий и на них проектируем соответствующие точки с траектории v центра тяжести, изображенной в квадранте а, причем точка О траектории центра тяжести проектируется на ось хс в точку О, точка / на горизонталь, проходящую через точку / оси ф и т. д. В результате получим точки О', Г, 2', 3', , , ., 1Г кривой xt = /х (ф).

быть перенесен на основании диаграмм на рис. 139, в и рис. 140, в. Используемые для построения Т5"" ординаты Рдин прочерчены жирной линией. Для характерных точек графика pduiii выпадающих из произведенной разметки путей по равным положениям пальца кривошипа, должны быть построены самостоятельные положения механизма. Ординаты Рдин, соответствующие этим положениям механизма, на рис. 139, в и 140, в прочерчены жирными штриховыми линиями. Построение, указанное на рис. 137, для определения Тдин фактически приходится делать не в 12 положениях механизма, а в меньшем числе, так как в мертвых положениях Т ин = 0, ибо здесь iba = = -г~ обращается в 0, а в положении 3 и 9 iba = 1, так как здесь

Из этого определения следует, чго в положении равновесия все а,] и (j/ равны нулю, а это означает, что в фазовом пространстве положениям равновесия соответствуют только особые точки. Разрешим уравнения Лагранжа относительно старших производных, т. е. представим их в виде

Подобным же образом в общем случае консервативной системы с п степенями свободы, когда потенциальная энергия является функцией от п обобщенных координат q±, .... qn, положениям равновесия соответствуют точки координатного пространства, в которых достигаются стационарные значения функции V (q).

Рис. 5.20. График зависимости потенциальной энергии U от координаты х (одномерный случай). В точках x=xi, 0 и хг мы видим, что dU/dx=Q, и поэтому в этих точках сила обращается в нуль. Эти точки соответствуют положениям равновесия, и при этом не обязательно устойчивого.

вующие устойчивым положениям равновесия. Диаграмма, изображенная на рис. 18.12, является характерной для потери устойчивости в смысле Эйлера (классический случай потери устойчивости). На ее отличительных особенностях остановимся позднее.

возможным будет исходное вертикальное положение равновесия. При Р > 1 наряду с исходным вертикальным положением равновесия стержня (ф = 0) становятся возможными и другие положения равновесия при ф =/= 0. Так, например, при Р = Рг возможны три различных положения равновесия стержня, соответствующие точкам 1, 2 и 3 на рис. 1.1,6. Точка 2 соответствует вертикальному положению, а точки 1 и 3 — отклоненным положениям равновесия. Если рассмотрим поворот стержня на произвольный угол ф, то увидим, что с ростом абсолютного значения безразмерной силы Р число возможных положений равновесия неограниченно возрастает.

минимумам полной потенциальной энергии и устойчивым отклоненным положениям равновесия; точка BI — максимуму энергии и неустойчивому вертикальному положению равновесия стержня.

Вообще говоря, могут быть точки бифуркации других типов, например, точки, в которых пресекаются два решения, соответствующие неустойчивым положениям равновесия (согласно приведенному выше определению они не являются критическими).

Несложный анализ позволяет установить, какие из ветвей полученного решения соответствуют устойчивым положениям равновесия. Результат такого анализа схематично изображен на рис. 1.12, б.

При плавном увеличении нагрузки реализуется правая ветвь, все точки которой соответствуют устойчивым положениям равновесия отклоненного стержня. На этой ветви кривой при ф0 4= О нет ни точек бифуркации, ни предельных точек: с увеличением нагрузки угол отклонения стержня монотонно увеличивается. Левая ветвь, содержащая предельную точку С2, может быть реализована только тогда, когда к стержню приложена некоторая дополнительная поперечная нагрузка, а затем она снята.

Проанализировав знак второй производной полной потенциальной энергии по углу отклонения системы, можно установить, какие из ветвей полученного решения соответствуют устойчивым положениям равновесия. Для фп<л результат такого анализа изображен на рис. 1.13, б. Как видим, поведение этой системы при ф„ =? 0 качественно отличается от поведения рассмотренной выше системы. При ф0 Ф 0 критическая точка бифуркации второго типа B! трансформируется в критическую предельную точку С].. При достижении этой предельной точки происходит потеря устойчивости исходной формы равновесия системы, причем поскольку в окрестности предельной точки Сг нет новых устойчивых положений равновесия, система вынуждена скачком перейти в новое устойчивое положение, удаленное от исходного на конечное расстояние.

Следует отметить, что уравнение (4.7) может иметь корни, соответствующие как устойчивому, так и неустойчивому положениям равновесия. Несмотря на это, а также