Положительной определенности

где Rt (i = 1, 2) — радиусы кривизны срединной поверхности, называется оболочкой вращения ненулевой гауссовой кривизны. Если К > 0, то имеем оболочку вращения положительной гауссовой кри-

Основные типы структур пространственных стержневых систем приведены на рис.12.16 и 12.17. В основе первой группы структур лежит сеть из четырехугольных ячеек. Вторая группа структур основана на сети из треугольных ячеек. Все структуры можно разделить на однослойные (односетчатые) и двухслойные (двухсетча-тые). Узлы однослойных структур расположены на одной поверхности, а узлы двухслойных структур - на двух поверхностях. Однослойные структуры характерны для третьего типа пространственных покрытий - стержневых оболочек положительной гауссовой кривизны, сетчатых куполов. Они применяются также в цилиндрических оболочках небольшого пролета. Для стержневых плит чаще всего используются двухслойные структуры.

Наибольшее распространение получили оболочки положительной гауссовой кривизны на круговом плане - купола (рис. 12.21 а).

Метод стабилизации висячих покрытий пригрузом конструктивно наиболее прост. Он применяется главным образом для стабилизации от ветровых нагрузок однослойных, не имеющих собственной изгибной жесткости висячих конструкций нулевой или положительной гауссовой кривизны. Примером такого решения является покрытие универсального спортзала в Измайлово (рис. 12.41), которое выполнено в виде однослойной цилиндрической мембраны. В целом метод стабилизации пригрузом малоэффективен и неэкономичен, т.к. в связи с общим увеличением нагрузки на сооружение возрастает и расход материалов на все несущие конструкции от покрытия до фундаментов.

Методы стабилизации дополнительными элементами и собственной изгибной жесткостью часто близки по конструктивному воплощению. Конструктивно роль дополнительных элементов выполняют балки, арки и фермы, вантовые фермы, оттяжки и т.п. С этих позиций всякая комбинированная висячая система может быть охарактеризована как стабилизированная дополнительными элементами. Достоинством метода является возможность стабилизации без пригруза покрытий с простейшей геометрией поверхности: плоские, нулевой гауссовой кривизны и положительной гауссовой кривизны. При этом могут быть исключены местные кинематические перемещения под воздействием сосредоточенных нагрузок, что позволяет применять подвесное технологическое оборудование, включая подвесные краны.

Tax, в покрытии павильона в Некрасовке размерами в плане 24 х 27м и цеха завода '«Компрессор» в Москве размерами в плане 66x81 м используются возможности мембраны как пространственной системы и ее способность к перераспределению усилий в зависимости от жесткостных характеристик опорного контура. В приведенных ранее примерах прямоугольные стальные мембраны положительной гауссовой кривизны прикреплены по периметру к трубобетонному опорному контуру большой гибкости с очень жесткими рамными углами. В этом случае распорные усилия с мембраны на контур передаются в углах, и прямолинейные элементы контура работают только на сжатие. При этом мембрана служит для элементов контура связевой системой, предохраняющей их от потери устойчивости в плоскости покрытия.

Рис. 12.47. Снеговая нагрузка и коэффициенты ц для покрытий с поверхностью положительной гауссовой кривизны на круглом и эллиптическом планах

Рис.12.50. Снеговая нагрузка и коэффициенты ц для покрытий с провисающей поверхностью положительной гауссовой кривизны на квадратном плане

ных растягивающих напряжений предельная поверхность в системе осей о^сГзСтз в указанной области должна асимптотически приближаться к прямой, равнонаклоненной к осям ог, <а^, ст3 (рис. 8.35). И в области, близкой к началу координат, поверхность отрицательной гауссовой кривизны лучше соответствует опыту. В области же значительного трехосного сжатия более приемлемой является поверхность положительной гауссовой кривизны.

Пусть имеется пологая мембрана положительной гауссовой кривизны (вторая строка таблицы 18.1), находящаяся под действием силы Р, приложенной навстречу выпуклости.

Для того чтобы исключить изгибание оболочки вращения положительной гауссовой кривизны, достаточно запретить по одному перемещению (и или v) на каждом из ее торцов или оба перемещения на одном из торцов. Для оболочки отрицательной гауссовой кривизны необходимо запретить оба перемещения по крайней мере на одном из торцов [401.

где количество s членов ряда зависит от свойств материала, ps— время релаксации, положительная величина, а т5 — время запаздывания (ретардации) — тоже положительная величина. Все тензоры четвертого ранга, входящие в правые части уравнений (74), являются полностью симметричными и состоят из постоянных величин; каждый из них положительно полуопределен, в то время как тензоры полных вязкоупругих податливо-стей и модулей релаксации положительно определены (Шепери [85, 87]). Свойства положительной определенности и полуопределенности очень важны, так как они обеспечивают единственность решения задач теории вязкоупругости и позволяют определить верхние и нижние границы некоторых эффективных характеристик композитов (см. разд. IV). Следует упомянуть,

Учитывая все это, Шепери [84] предложил два приближенных метода обратного преобразования, которые можно использовать только для положительных вещественных значений s. При таких ограничениях тензоры Cijki и S^kt должны быть вещественными и обладать тем же свойством положительной определенности, что и тензоры упругих модулей [85]. Таким образом, для того чтобы получить зависящее от времени вязкоупру-гое решение, достаточно иметь только численное решение упругой задачи. Оба эти метода будут описаны ниже.

этого разложения положительно определена, т. е. П2 > 0 при любых 6ф1 и 6ф2, не равных нулю одновременно1). Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительны 2):

В понятие линеаризуемости системы входит также требование положительной определенности потенциальной энергии деформации Hz- Это означает, что, каким бы ни было малое отклонение

Ввиду симметричности матриц а*/ и gi/ и положительной определенности пер-вой из них характеристическое уравнение

при любых возможных отклонениях системы от положения равновесия; откуда следует условие положительной определенности второй вариации полной потенциальной энергии системы (см. приложение II)

при любых комбинациях приращений независимых переменных, т. е. условие положительной определенности второго дифференциала. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда

Анализ применяемых численных методов решения контактных задач показывает, что в некоторых вариантах возможны такие вычислительные трудности по сравнению с решением классических краевых задач со смешанными граничными условиями, как нарушение положительной определенности систем алгебраических уравнений, появление неустойчивости их решения из-за плохой обусловленности, применяется численная реализация некорректно поставленных задач. Здесь предлагается алгоритм решения задачи контакта деформируемых тел, свободный от указанных недостатков, дающий в ряде случаев более быструю сходимость по сравнению с применяемыми методами. В качестве иллюстрации рассмотрено решение задачи контакта шероховатых тел с нелинейной податливостью шероховатого слоя.

йатеМ минор (N — 1)-го порядка и т. д. до минора первого порядка, т. е. первого элемента матрицы. Затем печатается порядок Nt исходная матрица, порядок и значение каждого из N главных миноров. Если все N значений положительны, матрица является положительно-определенной. Для строго положительной определенности требуется, чтобы все N миноров были строго положительны.

Вторая программа учитывает трудность вычисления определителя для матриц больших порядков, вызывающую останов машины по переполнению. Перед вычислением определителей производится просмотр матрицы и деление ее элементов на элемент, наибольший по модулю (масштаб) в каждой строке, причем используются те же исходные данные, что и в первой программе. В конце работы производится печать масштабов и значений определителей в указанных масштабах. На знак миноров эти масштабы влияния не оказывают; поэтому оценка положительной определенности производится так же, как в первой программе.

Так как в силу положительной определенности матрицы М