Положительно определена

системы как жесткого тела. Воспользовавшись выражениями для коэффициентов am (т = 0, 1, . . ., п —1), можно установить условия их положительности. Нетрудно видеть, учитывая зависимость (10.30) для силового передаточного отношения, что в тяговом режиме коэффициенты am (т = 0, 1, . . ., п—1) всегда положительны. Для режима оттормаживания условие положительности коэффициентов характеризует отсутствие заклинивания самотормозящегося механизма, если рассматривать появление апериодических составляющих в законе

является достаточным для положительности коэффициентов.

Для привода (рис. 92, в) рассмотрим два варианта необходимых и достаточных условий положительности коэффициентов характеристического уравнения.

сводятся к положительности коэффициентов характеристического уравнения, т. е.

Следует сделать оговорку, что для волнового критерия можно обойтись без условий а0 > О, ах > 0, й2 > 0, а3 > 0. Однако условия положительности коэффициентов сразу «отсекают» неустойчивые системы с отрицательными коэффициентами, и поэтому здесь и далее будем их оставлять.

Учитывая (1.80) — (1.83) и ранее сделанные замечания о положительности коэффициентов характеристического уравнения, сформулируем волновой критерий устойчивости для систем шестого порядка.

Рассматриваемый объединенный алгоритм был сформирован путем включения в алгоритм вычисления коэффициентов характеристического уравнения процедур проверки положительности коэффициентов характеристического уравнения и вычисления параметров т3 [см. (III.6)], с помощью которых осуществляется оценка запасов устойчивости.

выполнения условий положительности коэффициентов уравнения и детерминанта Гурвица даже в том случае, если $ = 0.

явно определяются по известным значениям искомой функции в предшествующий момент времени т. Ограничение на шаг по времени устанавливается из условия положительности коэффициентов дискретного аналога (5.83)

когда число Пекле мало. По этой причине в центрально-разностной схеме, использующей кусочно-линейный профиль 2 в качестве интерполяционной функции, при \РпЬ > 2 нарушается правило положительности коэффициентов дискретного аналога (см. правило 2 на с. 155), что делает эту схему совершенно непригодной.

являются и достаточными. При я>2 из положительности коэффициентов полинома в общем случае не вытекает, что его корни расположены в левой полуплоскости.

Согласно (1.16), подынтегральное выражение в (1.24) равно удвоенной энергии деформаций для смещений q, — qt. Так как удельная энергия деформаций положительно определена, (1.24) требует, чтобы

этого разложения положительно определена, т. е. П2 > 0 при любых 6ф1 и 6ф2, не равных нулю одновременно1). Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительны 2):

вождается деформациями ее элементов того же порядка малости и накоплением положительной энергии деформации, квадратичной по отклонению; такие конструкции по кинематической классификации относят к неизменяемым (см. § 18.2, раздел 3.2). Помимо этого, ограничимся рассмотрением только таких однопараметрических нагрузок, для которых положительно определена и «единичная» силовая функция t?2. В частности, исключаются нагрузки типа показанной на рис. 18.57, для которой

Если нагрузка р > 0 мала, то квадратичная форма ГЬ, задаваемая выражением (18.110), положительно определена, полная потенциальная энергия П в положении равновесия имеет минимум и по теореме Лагранжа это положение устойчиво. По мере возрастания нагрузки р > 0 в выражении (18.110) отрицательно определенное второе слагаемое Vz = — РФ2 начнет «подавлять» первое слагаемое U2, так что квадратичная форма П2 превратится либо в неопределенную по знаку, либо в .отрицательно определенную. Тогда по признакам предыдущего пункта положение равновесия будет неустойчивым. Переход от устойчивости к неустойчивости, т. е. критическое состояние системы, соответствует тому уровню нагружения ') р = р*, при котором квадратичная форма П2 утрачивает положительную определенность. Следовательно, при р = р* можно указать такое отклонение системы q* — (q\, ..., q*k} от положения равновесия, для которого

Поскольку квадратичная форма U положительно определена, при р = О П(;> > 0 и корни AJ и А,; = — Аг чисто мнимые. Такими они и остаются, пока значение р мало и П<() > 0. Если значение р достаточно велико, то П() < 0 и корни Аг и А,г являются вещественными. При том значении р = pi, которому отвечает равенство П(!) = 0, корни Яг и Лг равны нулю.

Для решения системы разрешающих уравнений (блок 3) существует большое число хорошо отработанных методов. Например, метод Рунге — Кутта для решения системы дифференциальных уравнений, метод последовательного исключения Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений. Если матрица [К]пп положительно определена, время решения системы алгебраических уравнений можно существенно уменьшить, применив метод Холецкого.

Таким образом, МКР и МКЭ позволяют привести решение краевых задач к решению однотипных систем алгебраических уравнений. Однако МКЭ обеспечивает большую степень автоматизации получения системы разрешающих алгебраических уравнений при составлении программ. Еще одно преимущество этого метода — универсальность по отношению к геометрии исследуемой области. Кроме того, матрица коэффициентов при неизвестных, получаемая при применении МКЭ, симметрична и, как правило, положительно определена, что позволяет использовать для решения системы алгебраических уравнений эффективные методы. Сложности применения МКР возникают при составлении конечно-разностных соотношений в многомерных областях при произвольном расположении узлов.

где со — круговая частота. Число собственных значений (собственных частот колебаний) равно числу степеней свободы конечноэлементной схемы. или числу уравнений, входящих в систему (3.59) , если матрица [М] вычисляется в соответствии с (3.55) . Если же [М] сосредоточена лишь в узлах конечных элементов, такой прием часто используется в динамике конструкций и небезуспешно, особенно в задачах распространения волн; число собственных значений ограничивается числом ненулевых строк в матрице [М] . Если [М] положительно определена, все собственные значения вещественны, если при этом и [К] положительно определена, все собственные значения вещественны и положительны. Каждой собственной частоте задачи соответствует собственная форма колебаний.

С этой целью были разработаны две программы, проверяющие положительную определенность симметрической матрицы. Обе программы реализуют критерий Сильвестера для симметрической матрицы: такая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры ее положительны.

Системы уравнений, порождаемые методом конечных элементов, обладают достаточно хорошими свойствами — матрица системы симметрична, положительно определена и обычно хорошо обусловлена. Все это часто позволяет применять прямые методы без дополнительных проверок и усложнений.

т. е. если положительно определена соответствующая ей квадратичная форма а().