Положительно определенные

Здесь f = f (x) представляет собой некоторое поле, например поле напряжений, которое должно быть допустимым в том смысле, что оно должно удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям и условиям непрерывности. Через F {f} обозначен некоторый положительно определенный функционал от г, причем интегрирование распространяется на объем V тела В. Минимум в (3.29) достигается при г = г, где г есть действительное поле, вызванное в В заданными поверхностными нагрузками на 52. Если, например, С представляет собой упругую податливость тела В, то f есть произвольное кинематически допустимое поле деформаций, a F {f} — соответствующая удельная энергия деформаций.

стоянные Fife образуют симметричный положительно определенный тензор, т. е. что

1. Минимизируется функция / (1Ш1) в Е" с использованием г +1 вершин деформируемого многогранника, где г=п — т — число степеней свободы целевой функции. Метод минимизации состоит в том, что вершина в Е", у которой / (\\X\\) максимально, проектируется через центр тяжести оставшихся вершин в направлении уменьшения / (где [К] и [М] — положительно определенные симметричные матрицы размером п X п; х — собственный вектор. Цель различных методов автоматической редукции состоит в уменьшении порядка п без значительного ухудшения точности определения низших форм колебаний. Необходимость разработки этих методов вызвана возникшими трудностями в достижении точности и в получении достаточно эффективного способа решения задачи о собственных колебаниях систем большого порядка. Такая задача возникает в результате идеализации конструкции, когда она заменяется сетью дискретизованных масс.

Если удовлетворяются общие достаточные условия синтеза и в заданной области параметров Gp модели не требуется проверка выполнимости условия (15.8), то в задаче ограниченного структурного синтеза с вектором C(Q, P), имеющим положительно определенные компоненты, критерий эффективности можно представить в виде [28]

где х — 3-мерный вектор обобщенных координат; М, К — симметрические положительно определенные матрицы размерности 3x3, элементы которых — функции инерционных и жесткостных параметров модели. Собственные частоты fi колебаний системы

где q (t) — га-мерный вектор перемещений; M =diag (т^. . ., »„) — инерционная матрица; Н и К — положительно определенные симметрические квадратные матрицы, сформированные из коэффициентов демпфирования hit . . ., hn и жесткости klt. . ., ka; R [q (t)] — вектор-функция, учитывающая нелинейность жесткостных характеристик; F0=(^i/>- • •> ^„jY ~~ постоянный вектор (8,.^— символ Кронекера, т—знак транспонирования); и (t) — скалярная функция внешнего тестового воздействия; f (t) — га-мерный вектор коррелированного нестационарного случайного процесса внутренних возмущений.

где А0, В0 и С0 — симметричные положительно определенные матрицы. Пусть коэффициенты параметрически возбуждаемой системы заданы с точностью до двух параметров: частоты возбуждения w и коэффициента возбуждения [i, который характеризует интенсивность параметрического возбуждения (глубину модуляции параметров). Например, пусть уравнение (1) получается из (17) заменой А0 на А0 + nAt (t), В0 на В0 •+ [iBt (f), C0 на C0 + [iC! (/), где Aj (t), Bt (f) и С, (t) — периодические с периодом Т = 2л/ш матрицы достаточно произвольной структуры. Диссипацию будем считать достаточно малой, например, удовлетворяющей условию (19) гл V. Для этого

где АО, Во и С0 — симметричные положительно определенные постоянные матрицы; Ai(^ ц). BI(/, [х) иС1(^, [х) — периодические матрицы-функции; (J, — малый параметр. Матрицы АХ, BI и GI, кроме того, являются аналитическими функциями в окрестности и, = 0.

Здесь матрицы А, В и С — симметричные, положительно определенные постоянные матрицы; F — постоянная матрица произвольной структуры. Параметр малости в диссипативный член не введен, хотя предполагается, что диссипация имеет порядок малости [х (или менее). Используя нормальные координаты [см. формулу (38) гл. III], преобразуем уравнения (46) к главным осям матрицы А^С:

где А и С — линейные положительно определенные матричные операторы, соответственно инерционный и упругий; f — вектор внешних нагрузок. Конкретный вид этих операторов для упругого тела нетрудно получить, сопоставляя (32) с (26) или (28). Для других случаев выражения для А и С будут даны ниже.

Свойства собственных частот и собственных форм. В дальнейшем будем считать, что операторы А и С — самосопряженные и положительно определенные, а оператор С"1 — вполне непрерывный.

где Аа — симметричные, положительно определенные операторы, то уравнения

где Л, В, С — симметричные положительно-определенные п X /г-матрицы, составленные соответственно из инерционных, диссипативных и квазиупругих коэффициентов; q — п мерный вектор обобщенных координат системы, Q (I) — вектор обобщенных сил, действующих на источник или объект.