Положительно определенная

где Ф0, Ч;0 — заданные постоянные, ф, ^ — поля, ассоциированные с конструкцией, и минимум берется по всем полям, удовлетворяющим некоторым условиям. В соотношениях (13) функционалы G [ср] и Я [\р] считаются положительно определенными.

обе матрицы А я С будут положительно определенными, и это обстоятельство позволит упростить получение решений и их анализ. В линейной алгебре доказывается теорема о том, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определенной, могут быть одновременно приведены к сумме квадратов с помощью неособенного линейного преобразования

Все корни rl векового уравнения — действительные числа. Если обе формы, приводимые к сумме квадратов, являются положительно определенными, как в рассматриваемом случае, то все числа rt положительны. Это доказывается в линейной алгебре, но можно установить и непосредственно — в противном случае форма (47) не была бы положительна в малой окрестности начала координат, а это свойство должно сохраняться при преобразованиях координат (45).

Существование обратных тензоров (93) — (95) гарантировано положениями термодинамики и следует из того, что тензоры, входящие в формулы (74), являются положительно определенными и полуопределенными [85]. Здесь важно напомнить, что, так как тензоры во всех вышеупомянутых соотношениях полностью симметричны (в силу термодинамических соображений), равенства (93) — (95) идентичны соответствующим соотношениям для упругих тел, только в последнем случае модули и податливости являются постоянными величинами.

Будем считать, что диссипация энергии системы является полной. Тогда положительно определенными будут не только матрицы ац и Сц, но и матри-ца Ьц. Вследствие этого в последнем равенстве коэффициенты

где К и М — матрицы жесткости и инерции; они являются симметрическими и положительно определенными, поскольку квадратичные формы XfKXi и XlMXt представляют собой потенциальную и кинетическую энергии системы (символ т обозначает транспонирование). Матрицу М можно сделать диагональной [1], откуда следует, что матрица (1) должна иметь положительный спектр собственных значений.

Поскольку Т )> 0, если хотя бы одна из обобщенных скоростей отлична от нуля, то квадратичная форма (3) и соответствующая ей инерционная матрица А будут положительно определенными. Исключение составляют некоторые вырожденные случаи, например, системы с полуцелым числом степеней свободы, для которых квадратичная форма кинетической энергии может оказаться неотрицательной. Из положительной определенности квадратичной формы (3) вытекает положительность определителя инерционной матрицы А и ее главных миноров, а также существование обратной матрицы А"1.

Операторы А и С являются положительно определенными, т. е. для них на любом ф <= D (С) при ф ф 0 справедливы неравенства

Для решения систем с симметричными положительно определенными матрицами часто используется метод Холецкого (метод квадратных корней).

Метод последовательной верхней релаксации (SOR-метод) — один из наиболее эффективных и широко используемых методов решения систем уравнений с симметричными положительно определенными матрицами. Суть метода состоит в следующем. После вычисления очередной г'-й

Другие итерационные методы. Популярными методами решения систем с симметричными положительно определенными матрицами являются метод наискорейшего градиентного спуска и метод сопряженных градиентов, изложенные в п. 5.1.10 в связи с задачей минимизации квадратичной функции (5.4). Изложение метода минимальных невязок, линейного многошагового метода с чебышев-ским набором параметров и других методов можно найти в [8, 13, 16,58,59].

Для линейно-упругой конструкции существует положительно определенная удельная энергия деформаций

Очевидно, У 2 — величина положительно определенная, т. е. при любых не равных тождественно нулю функциях иг (х, у) и У! (х, у) всегда V2 > 0. Откуда следует, что для получения минимальной критической нагрузки функции «х (х, у) и Vi (х, у) необходимо положить тождественно равными нулю (перемещения пластины как жесткого целого не рассматриваем). Итак, с той же степенью точности, с которой верны формулы (4.24), можно считать, что при потере устойчивости точки срединной поверхности пластины получают только поперечные перемещения w (перемещения ы, v второго порядка малости, сопутствующие потере устойчивости пластины пока не рассматриваем).

Так как Т — положительно определенная квадратичная форма, то диагональные элементы матрицы Лг вещественные положительные числа. Характер квадратичной формы Я зависит от устойчивости исследуемой системы. Линеаризованные динамические модели крутильных механических систем приводов представляют собой,

где [В] — симметричная, положительно определенная матрица коэффициентов, зависящая от параметров упругости материалов деталей, формы контактирующих тел и их кодировки (сеточной разбивки); {U} — вектор-столбец с компонентами смещений узлов

где [В] — симметричная, положительно определенная матрица коэффициентов; [U] — вектор-столбец с компонентами смещений и„г и wm; {Р} — известный вектор-столбец, характеризующий внешние нагрузки.

где a — положительное число; С — • заданная положительно-определенная постоянная матрица; В — матрица, определяема как решение уравнения Ляпунова

где (f(t) — любая функция; (А) — одинаковая для обоих аргументов любая область интегрирования, т. е. функция Kx(t, t') — положительно определенная.

если второй дифференциал с?2/Ч*о) есть положительно определенная квадратичная

— отрицательно и положительно определенная 97 Машинное слово, машинный код 135 Медицинский осмотр (охрана труда) 401

где R — положительно определенная матрица. Функция (8) является статистически обоснованной для случаев, когда вектор помехи имеет нулевое среднее, а ее координаты независимы между собой. При применении функции (9) говорят об обобщенном методе наименьших квадратов. Если R = Vt', где Vj—ковариационная матрица коррелированной помехи , имеющей нулевое среднее, то оценки параметров называют марковскими [32, 44]. Метод наименьших квадратов особенно часто используют при линейных по параметрам зависимостях вида

Q _ положительно определенная матрица размерности г X г, 0 — нулевая матрица. Обозначим