Получения приближенного

При получении приближенного решения использовалось выражение (4.183) с известными функциями Uj(e). Естественно возникает вопрос, как эти функции получить. Очень эффективными для получения приближенных решений являются степенные функции, удовлетворяющие краевым условиям и условиям ортогональности. Изложим метод получения таких функций на примере стержня, показанного на рис. 4.11,а. Чтобы получить отличное от нуля выражение для безразмерного прогиба v, надо взять число слагаемых степенного ряда на единицу больше числа граничных условий:

Прежде чем рассматривать различные методы получения приближенных решений уравнений (72) и (73), посмотрим,

в теории случайных процессов называется поток точечных событий, случайные интервалы времени между которыми взаимно независимы и имеют одинаковое распределение.) Теорема Реньи гласит, что если к случайному потоку применять операцию разрежения (просеивания), которая состоит в исключении точек потока с некоторой вероятностью, не зависящей ни от времени, ни от номера точки в исходном потоке, ни от того, каким образом развивался процесс разрежения на предыдущих шагах, то образуемый в результате регулярного применения указанной процедуры поток асимптотически стремится к пуассоновскому. Конечно, результатом теоремы Реньи можно воспользоваться и в допредельном случае для получения приближенных выражений.

Применим принцип наложения к модулям вектор-потенциалов. Для получения приближенных соотношений такая операция допустима. Индуктор, изображенный на рис. 1.3, разобьем на элементарные пояски высотой dza с радиусом, равным радиусу индуктора Rlf Число витков в каждом таком пояске равно w^dz^.

Так как стержень нерастяжим и длина его между сечениями А иВ не изменяется, то первая форма колебаний имеет вид, показанный на рис. 8.11, б штрихпунктирной линией /. Однако для получения приближенных функций, характеризующих формы колебаний, удобнее предположить, что возможна и нулевая форма. Последнюю в дальнейшем можно не использовать, так как она возможна только для растяжимого стержня. Введем для этой функции обозначение и$.

тистические закономерности их изменения и определены прогнозные оценки их возможных значений в будущем. Однако для многих исходных показателей, прогнозируемых на перспективу 5—7 лет и более, не всегда правомерно использование статистических характеристик для их вероятностного описания в будущем, несмотря на наличие опыта их массовой реализации в прошлом. В этих случаях статистическая обработка имеющихся исходных данных может быть использована лишь для получения их приближенных вероятностных характеристик. Обоснованное их перенесение на будущее требует привлечения анализа и экспертной оценки будущей ситуации. Для прогнозирования исходных показателей, по которым опыт прошлого отсутствует либо недостаточен для статистической обработки, возможны три способа получения приближенных вероятностных характеристик прогнозируемых случайных величин.

Для получения приближенных уравнений движения полагаем, что скорости движения частиц жидкости параллельны оси Ох.

Пример 3. Оценка критической нагрузки шарнирно опертой трехслойной оболочки. Рассмотрим трехслойную цилиндрическую оболочку с симметричной структурой трехслойного пакета, нагруженную внешним гидростатическим давлением. Для получения приближенных оценок критической нагрузки воспользуемся основными допущениями полу-безмоментной теории [3]. Предположим также, что окружные деформации и сдвиги срединной поверхности пренебрежимо малы:

Для получения приближенных решений применяют гипотезу стационарности и принимают допущение о двумерном обтекании лопасти и замене ее тонкой колеблющейся пластинкой [2, 15, 19, 22].

Метод Бубнова — Галеркина также относится к прямым методам, он получил широкое распространение и применяется для получения приближенных решений линейных и нелинейных задач.

Важно отметить, что энергетический критерий можно использовать и для получения приближенных решений задач устойчивости оболочек 'с помощью прямых вариационных методов.

Все рассмотренные нами ранее разностные схемы для решения уравнений теплопроводности являются реализациями метода конечных разностей. Системы алгебраических уравнений для определения численного решения мы получали путем замены производных в дифференциальном уравнении и в граничных условиях или в уравнениях теплового баланса для элементарных ячеек конечными разностями. Таким образом, в методе конечных разностей отправной точкой для получения приближенного решения является дифференциальная краевая задача. Однако искомое поле можно находить и из решения соответствующей вариационной задачи. На ее численном решении основан получивший широкое распространение метод конечных элементов (МКЭ) [7, 27].

Наиболее широко распространенный прием получения приближенного решения вариационных задач состоит в следующем. Приближение для искомой функции Т (х, у) разыскивается в виде

Для получения приближенного решения уравнения (7.31) контур области в плоскости rz аппроксимируется конечным числом прямолинейных отрезков. Исследуемая область покрывается согласованной нерегулярной (или регулярной) сеткой, состоящей из линий r= const и 2— const так, что точки пересечения прямоугольной сетки совпадают с точками пересечения отрезков, аппроксимирующих контур (рис. 7.3, а).

Система уравнений (8.21) и (8.22) и соотношение (8.23) являются исходными для получения приближенного решения.

Из формул (8.203) следует, что при w — » оо Хх — > 0, а Х2— * •— » схэ, т. е. вторая частота при больших w является грубой. Для уточнения значения второй частоты следует брать три слагаемых ряда (8.185). При этом получающиеся две первые частоты, как правило, дают хорошее приближение к действительным значениям, т. е. для получения приближенного значения п частот надо брать п + 1 слагаемых ряда (8.185).

Определение числа степеней свободы т деформируемого сплошного тела связано с существенными затруднениями, В ферме это число легко определяется как количество возможных (и независимых) перемещений ее узлов (см. рис. 7.4). Нетрудно его определить и в некоторых других случаях. Например, однородный изотропный брус постоянного поперечного сечения при чистом изгибе относительно оси симметрии сечения имеет только одну степень свободы: соображения симметрии приводят к тому, что поперечные сечения должны оставаться плоскими (края не учитываются), а нейтральная ось независимо от характера деформации (упругая, пластическая) — совпадать с центральной. Обобщенным перемещением здесь служит кривизна. Брус при чистом косом изгибе, если сечение имеет не более одной оси симметрии, имеет три степени свободы (две кривизны и деформация осевой линии представляют три обобщенных перемещения). При поперечном изгибе брус имеет уже, строго говоря, бесконечное число степеней свободы: для определения деформаций нужно задать кривизны и положения нейтральных осей во всех сечениях (сдвиг во внимание не принимается). Но для получения приближенного решения, более простого и в то же время

Из формул (8.203) следует, что при w — > оо Хх — * 0, а?и2— > — » оо, т. е. вторая частота при больших w является грубой. Для уточнения значения второй частоты следует брать три слагаемых ряда (8.185). При этом получающиеся две первые частоты, как правило, дают хорошее приближение к действительным значениям, т, е. для получения приближенного значения /г частот надо брать п -\- \ слагаемых ряда (8.185).

Нагружение внутренним давлением. Для получения приближенного аналитического решения задачи составим дифференциальные-уравнения равновесия. Для этого из толстостенной тороидальной оболочки, имеющей радиус кривизны R и размеры поперечного» сечения г\ и г2 и нагруженной внутренним давлением р, выделим сектор с углом dQ (рис. 3.10,а), из которого выделим элементарный объем (рис. 3.10,6). Площади граней этого элемента

Для получения приближенного решения будем отыскивать перемещения в виде

Рассмотрим прямоугольную пластину, у которой а^Ь. Для получения приближенного решения воспользуемся методом разделения переменных В. 3. Власова и Л. В. Канторовича. Представим прогиб пластины и кривизны в следующем виде:

Для получения приближенного решения используется система стабилизации силы резания с малым коэффициентом усиления. При уменьшении коэффициента усиления статической системы стабилизации ниже 10 эффективность регулирования режима резания значительно снижается, т. е. допустимая погрешность не должна превышать