Поворотно симметричной

Пусть Nm — число собственных частот, принадлежащих группе tn, тогда для всех других групп оно будет тем же: NI.= Nm. Принимая во внимание равенство числа групп спектра и порядка поворотной симметрии, общее число собственных частот всей системы Л'С = Л/Г5. Очевидно, что Nc = nc, а также nc=.nnS для поворотно-симметричных систем, где пс — число степеней свободы масс системы; пп — число степеней свободы масс периода. Следовательно, hT—Ncl$=nn, т. е. число собственных частот любой группы спектра соответствует числу степеней свободы масс периода. Если поворотно-симметричная система имеет распределенные параметры, или она представлена, как содержащая элементы такой структуры, то бесконечное счетное множество собственных частот ее спект,-ра распадается на S -бесконечных счетных подмножеств, принадлежащих различным группам т, для каждой из которых Nm=

Рис. 1.4. Простейшая поворотно-симметричная система

В наиболее общем случае начальных условий поворотно-симметричная система способна совершать свободные колебания с двукратной собственной частотой, которые могут трактоваться как одновременная суперпозиция колебаний в виде стоячей и бегущей волн [дискретное представление (2.12)]. В зависимости от конкретных начальных условий свободные 'колебания поворотно-симметричной системы, совершающиеся с двукратной собственной частотой, могут приобретать вид стоячих волн, бегущих волн, а также суперпозиции тех и других.

Действие поля центробежных сил на массы вращающейся системы вызывает изменение ее собственных частот и форм колебаний. Вместе с тем, если поворотно-симметричная система вращается относительно оси, совпадающей с осью поворотной симметрии, то действие такого центрального поля центробежных сил не нарушает общих динамических свойств, присущих ей как линейно-упругому поворотно-симметричному объекту. Поэтому ранее изложенные особенности колебаний, свойственные невращающимся поворотно-симметричным системам, присущи, если отвлечься от некоторых вторичных эффектов, колебаниям и в условиях вращения.

Критические частоты вращения системы. Поворотно-симметричная система при вращении вокруг своей оси симметрии в поле действия неподвижной стационарной силовой нагрузки, обладающей окружной неравномерностью, оказывается под воздействием динамических нагрузок, способных вызывать вынужденные и, в частности, резонансные колебания ее.

Рис. З.1. Простейшая поворотно-симметричная система с винтом

Простейшая система. На рис. 3.1 показана поворотно-симметричная система S идентичных прямых стержней, которые на периферии .недеформируемого жестко закрепленного диска равномерно расположены по окружности с шагом « = 2я/5. Стержни ориентированы радиально; на их свободных концах размещены S масс М, центры которых совмещены с точками крепления к стержням. Главные моменты инерции масс относительно радиальных направлений —/ = = Mr j, где г,— радиус инерции. Между соседними массами установлены упругие связи, сочлененные с ними шарнирно и имеющие продольную жесткость сс. Точки крепления связей отстоят от центров масс в направлении оси системы на расстояниях а и Ь. Предполагается, что каждая масса имеет две степени свободы — возможность перемещения по окружности системы и поворота' относительно радиального направления; Период такой системы имеет две степени свободы, а вся система 2S степеней свободы и соответственно 2S собственных частот, т. е. каждой, из m групп принадлежат две собственные частоты. При свободных колебаниях системы из условий равновесия k-A массы, если изгибная жесткость стержня си, а крутильная — скр, следует

Матрицы волновых динамических жесткостей и податливостей. Пусть некоторая 'поворотно-симметричная .система совершает вынужденные колебания заданной частоты под ] действием шести независимых дискретных гармонических усилий, приложенных в одной из 5 сходственных точек — b (рис. 3.2). Если известно решение такой задачи, то перемещения этой.и других сходственных точек b можно представить с помощью совокупности 5 квадратных матриц 1nk, имеющих в общем случае 6-й порядок. Каждая из этих матриц устанавливает связь между амплитудами гармонических усилий, действующих в точке k, и 'амплитудами гармонических перемещений л-й точки.

Жесткий диск с упругими лопатками. В такой системе, если предположить, что диск жестко закреплен, каждая лопатка способна колебаться независимо от других и, соответственно, связанность колебаний между ними отсутствует. Однако, эта система,, хотя и формально, может рассматриваться как единая поворотно-симметричная система. Поэтому любое сочетание независимых свободных колебаний совокупности S одинаковых лопаток, равномерно расположенных по окружности жесткого диска, можно трактовать как суперпозицию колебаний с собственными формами, свойственными поворотно-симметричной системе.

Таким образом, независимые колебания совокупности отдельных лопаток всегда можно представить как суперпозицию собственных колебаний, свойственных поворотно-симметричной системе. На рис. 6.10 приведена схема, иллюстрирующая спектр колебаний лопаточного венца с недеформируемым и жестко закрепленным диском, когда такая система рассматривается как поворотно-симметричная. Спектр ее собственных частот совпадает со спектром собственных частот любой из одинаковых лопаток, закрепленных на диске. В то же время кратность каждой собственной частоты системы соответствует числу лопаток, т. е. каждой собственной частоте отвечают S линейно независимых собственных форм [имеется в виду, что для любого т (0
Из формул (7.36) видно, что с возрастанием возмущения и увеличением плотности спектра частот порождающей системы, величина искажающих гармоник возрастет. Система с рассматриваемым возмущением всегда представила как поворотно-симметричная с порядком симметрии вдвое меньшим, чем порождающая. Для нее O^m^S/4, но спектр будет содержать две частотные функции (рис. 7.6).

Рабочее колесо как упругая поворотно-симметричная система, находящаяся под воздействием шума. Если упругая система со строгой поворотной симметрией находится под воздействием шума .изотропного в окружном направлении, то она скорее всего, способна откликаться на него лишь -по своим формам колебаний, принадлежащим к группе т=0. Другие формы колебаний останутся ортогональными к такому возбуждению [20].

Рис. 1.2. Период поворотно-симметричной системы

поворотно-симметричной системы; а и b — поверхности стыка с соседними периодами. Поверхность стыка может состоять из одной или нескольких областей, включая и дискретные .точки стыка.

Совокупность всех решений операторных уравнений (1.10), составленных для всех целых чисел т из последовательности (1.8), определяет полный спектр собственных форм и частот поворотно-симметричной системы. Обратим внимание на важную особенность этого спектра. Пусть уравнение (1.10) соответствует неко-

Таким образом, в спектрах поворотно-симметричных систем всегда присутствует множество пар линейно-независимых форм колебаний с совпадающими частотами. Для определения спектра любой поворотно-симметричной системы нет нужды решать все S уравнений вида (1.10) для всех т из последовательности (1.8). Это достаточно сделать лишь для плотной последовательности целых чисел:

. В общем случае каждая группа спектра поворотно-симметричной системы содержит однократные частоты. Возможны исключения, «о они не имеют прямого, отношения .к поворотной симметрии системы. Собственные колебания с совпадающими частотами располагаются в парах различных групп, имеющих одинаковую абсолютную величину числа m из последовательности (1.8). Таким образом, двукратные собственные частоты присутствуют всегда в попарно объединенных группах \т\ = 1,2, 3, ... , 5/2 — 1 [(S — 1)/2 — — 1 — при нечетном S], т. е. при положительных целых т из последовательное™ ..

Графическое представление спектров частот. Использование частотных кривых с дискретным выделением на них собственных частот, когда они нанесены на изображающую цилиндрическую поверхность, облегчает восприятие спектра частот поворотно-симметричной системы как органически целого, претерпевшего те или иные изменения, при изменении факторов, влияющих на него. Это особенно важно при -расчетно-теоретических и экспериментальных исследованиях сложных поворотно-симметричных систем, к которым, в частности, относятся рабочие колеса современных турбома-

риоды с шагом 2л/3 любыми поверхностями, которые опираются на ось симметрии. При этом, естественно, динамические свойства системы не меняются. Поэтому на основании формул (1.12) и (1.18) выражение, описывающее собственные формы поворотно-симметричной системы, можно представить в виде

Бели у поворотно-симметричной системы можно выделить совокупность точек, лежащих на окружности с центром на оси симметрии, то это 'Окружное распределение по любому из сходственных направлений можно, как следует из соотношения (1.23), выразить в виде

свободы, а перемещения ее в направлении ортогональных осей х и у не син-фа;шы и имеют относительный сдвиг по фазе, равный я/2. Первый случай является простейшим аналогом колебаний поворотно-симметричной системы со стоячими волнами, а второй — простейшим аналогом колебаний ее с бегущими волнами.

В общем случае Q*?=Qy, Х=^±л/2. Вынужденные колебания системы можно представить как суперпозицию линейного колебательного движения массы с частотой о) и ее кругового перемещения с той же частотой. Это простейший аналог колебаний поворотно-симметричной системы с суперпозицией стоячих и бегущих волн.

3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОВОРОТНО-СИММЕТРИЧНОЙ СИСТЕМЫ