Принципом суперпозиции

2. Инвариантность и ковариантность законов механики. Принцип относительности Галилея. Классическая механика исходит из того, что все инерциальные системы равноправны. Смысл этого утверждения состоит в следующем: все законы и уравнения механики, установленные для замкнутой системы в какой-либо инерциальной системе отсчета, не изменяются при переходе к любой другой инерциальной системе отсчета Это утверждение называют принципом относительности Галилея.

В соответствии с принципом относительности Галилея законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Это значит, в частности, что уравнение (2.6) будет иметь один и тот же вид в любой инерциаль-ной системе отсчета. Действительно, масса m материаль-той точки как таковой не зависит от скорости, т. е. одинакова во всех системах отсчета. Кроме того, для инерциальных систем отсчета одинаковым является и ускоре-

В частности, если замкнутая система консервативна, то ее полная механическая энергия сохраняется во всех инерциальных системах отсчета. Этот вывод находится в полном соответствии с принципом относительности Галилея.

Естественно, возникает вопрос: заметит ли наблюдатель в /('-системе, движущейся относительно /(-системы, что его часы идут медленнее, чем часы /(-системы? Нет, не заметит. Это сразу же следует из принципа относительности. Если бы /('-наблюдатель тоже обнаружил замедление времени в своей системе отсчета, то это означало бы, что для обоих наблюдателей — К! и /С — время течет медленнее в одной из инерциальных систем отсчета. Из этого они заключили бы, что одна из инерциальных систем отсчета отличается от другой — в противоречии с принципом относительности.

Построенная таким образом диаграмма — диаграмма Мин-ковского — соответствует переходу от К- к ^С'-системе и отвечает преобразованиям Лоренца (6.8). В согласии с принципом относительности для обратного перехода от /(' к /(-системе диаграмма будет иметь совершенно симметричный вид: у /('-системы координатная сетка будет прямоугольной, а у /(-системы — косоугольной (предоставим в этом убедиться самому читателю).

Среди физических законов, согласующихся с принципом относительности Галилея, особенное значение имеют законы сохранения импульса, массы и энергии. Эти законы уже знакомы вам по школьному курсу физики, где они формулировались без какой-либо связи с принципом относительности. Согласно закону сохранения энергии, полная энергия Вселенной постоянна, независимо от времени*). Рассматривая эти законы с точки зрения принципа относительности, мы не откроем ничего сверх того, что мы уже знаем. Однако мы выиграем в отношении понимания явлений, и это поможет нам обобщить закон сохранения импульса на релятивистские условия, для которых соотношение F = Ма. уже не является точным законом природы. Нашей конечной целью будет нахождение эквивалентов законов сохранения массы, энергии и импульса в условиях движения <; релятивистскими скоростями, т. е. со скоростями, сравнимыми со скоростью света с.

Примеры подобного рода, а также неудачные попытки обнаружить какое-либо движение Земли относительно «светоносной среды» приводят к предположению, что не только в механике, но и в электродинамике никакие свойства явлений не соответствуют понятию абсолютного покоя. Более того, они свидетельствуют о том, что для всех систем координат, в которых выполняются уравнения механики, должны быть справедливы те же самые законы электродинамики и оптики, как это уже было доказано для величин первого порядка малости**). Эту гипотезу (содержание которой мы будем ниже называть «принципом относительности») мы намерены превратить в постулат и введем также другой постулат, который только кажется не согласующимся с первым, а именно, что в пустоте свет всегда распространяется с определенной скоростью с, не зависящей от состояния движения излучающего тела. Этих двух постулатов достаточно для того, чтобы, положив в основу теорию Максвелла для неподвижных тел, построить свободную от противоречий электродинамику движущихся тел. Будет доказано, что введение «светоносного эфира» излишне, поскольку в предлагаемой теории не вводится наделенное особыми свойствами «абсолютно неподвижное пространство», а также ни одной точке пустого пространства, где происходят электромагнитные явления, не приписывается вектор скорости.

В соответствии с принципом относительности длина, определяемая посредством операции а)—мы назовем ее «длиной стержня в движущейся системе» — должна быть равна длине стержня в условиях покоя..

Принципом относительности называется утверждение, что физические законы во всех ииерциальных системах координат одинаковы. Инерциальность систем координат и справедливость принципа относительности для них обусловлены свойствами пространства и времени. Существует бесчисленное множество инерциальных систем координат. Все »тн системы движутся поступательно равномерно и прямолинейно друг относительно друга.

тате изучения других явлении, в частности электромагнитных, справедливость этого положения была признана для любых явлений. В таком общем виде оно называется принципом относительности специальной теории относительности или просто принципом относительности.

замечаем, что длина движущегося стержня, расположенного в направлении движения, меньше длины покоящегося. Конечно, если все эти рассуждения провести с точки зрения системы координат К', принятой за неподвижную, то получится та же формула (15.3) уменьшения длины движущегося стержня, как это и требуется принципом относительности.

где переменные xlt ..., хп определяют состояние динамической системы, а функции Д (xl, ..., х„), /2 (*ъ •••. х„),... • ••, fn (х\, ..., хп) предполагаются кусочно-гладкими. Допустим, кроме того, что эти функции в допустимых областях изменения переменных xlt x2, ..., х„ обеспечивают существование единственного решения дифференциальных уравнений (4.1) (по крайней мере для возрастающих значений времени /) и его непрерывную зависимость от начальных условий. Поскольку функции /ь Д. ..., /„ не содержат явно времени t, динамическая система называется автономной, а ее фазовое пространство является л-мерным. Если правая часть уравнений (4.1) может быть представлена в виде / = Ах, где А обозначает матрицу, элементы которой не зависят от xt, то динамическая система называется линейной. Свойство линейности тесно связано с широко используемым принципом суперпозиции. В случае автономной системы элементы матрицы А — постоянные величины и решение системы дифференциальных уравнений (4.1) находится наиболее просто.

Воспользовавшись принципом суперпозиции, вычтем из напряжения поставленной задачи напряжения однородного напря-

а затем, воспользовавшись принципом суперпозиции, найти решение уравнения (7.156) от каждого слагаемого, входящего в правую часть (7.160), и просуммировать полученные решения.

При решении задач на конструкцию может действовать совокупность факторов (несколько нагрузок, температура). В этом случае для определения суммарного результата используется принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил (факторов): результат действия системы сил не зависит от порядка их приложения и равен сумме результатов действия отдельных сил, входящих в систему. На рис. 9.5 показана схема определения суммарного прогиба /? от действия нагрузок F и q. В соответствии с принципом суперпозиции

Пусть брусья А и В, имеющие поперечное сечение F (рис. 2.5), находятся под действием нагрузок, приложенных к их торцам: брус А нагружен равномерно распределенными нагрузками интенсивности q, а брус В — самоуравновешёнными системами сил, состоящими из сосредоточенных сил Р и распределенных нагрузок интенсивности q, причем qF = Р. Воспользовавшись принципом суперпозиции и наложив одно напряженное состояние (А) на другое (В), получим новое состояние (С): напряжение в стержне, растягиваемом сосредоточенными силами. Как и в случае растяжения нагрузками, равномерно распределенными по торцам, нормальные напряжения по поперечному сечению определяются по формуле:

Совместное действие простых деформаций. Многие детали механизмов испытывают совместное действие изгиба и растяжения (сжатия), изгиба и кручения, кручения и растяжения (сжатия). В этих случаях, в соответствии с принципом суперпозиции, напряжения в детали можно находить для каждой простой деформации независимо от остальных.

Наиболее распространен в практике случай контакта произвольного числа различно деформированных ограниченных участков. В приближении линейной поляризации можно воспользоваться принципом суперпозиции электрических полей и складывать функции возбуждения Е, (х) от каждого t-того контакта участков с различным физико-механическим состоянием:

Например, деформированный участок ограниченной длины [+ /,—/] на трубопроводе бесконечной длины создает первичное поле Е (х), равное сумме полей двух -контактов, отстоящих на расстоянии 21. Пользуясь принципом суперпозиции, получаем решение: для х ^ I

Наиболее распространен в практике случай контакта произвольного числа различно деформированных ограниченных участков. В приближении линейной поляризации можно воспользоваться принципом суперпозиции электрических полей и склады-

Так, например, деформированный участок ограниченной длины [-f/, —/] на трубопроводе бесконечной длины создает первичное поле Е (х), равное сумме полей двух контактов, отстоящих на расстоянии 21. Пользуясь принципом суперпозиции, получаем решение: для х > /

Это утверждение оправдывается известным из теории колебаний принципом суперпозиции.