Приращений температуры

Искусственно можно представить, что после прекращения действия источника теплоты q продолжают действовать одновременно в одной и той же точке фиктивный источник теплоты q и фиктивный сток теплоты —q. Под стоком теплоты будем понимать такой источник теплоты, действие которого вызывает отрицательное приращение температуры. Фиктивный источник и фиктивный сток теплоты будут взаимно уничтожаться, т. е. будет соблюдаться условие о прекращении существования действительного источника теплоты начиная с момента времени t = to. Изменение температуры в период выравнивания определится как разность приращений температур источника ДГИ и стока теплоты АТС. Например, для точечного источника, используя выражение (6.11), находим

нивания. Допустим, что спустя время ^ф после прекращения действия источника теплоты требуется определить приращение температуры в неподвижной точке пластины А (х, у], координаты которой записаны в движущейся системе координат. За время /ф начало движущейся системы координат переместится в точку О. Приращение температуры точки А определится как разность двух приращений температур: приращения температуры от источника теплоты А7"и, который действовал в течение времени /, продвигаясь из точки 00 в точку О, и приращения температуры от стока теплоты АГС, который действовал в течение времени /ф на участке 0К0:

Если из выражения (6.43) найти величину д*Т/дх2, пропорциональную разности тепловых потоков, проходящих через плоскости / и / ' в направлении Ох, и записать ее в функции v и /, то обнаружится, что количество теплоты, поступающей в слой между плоскостями / и /' при конкретном t, сильно зависит от и. Чем больше v, тем меньше влияние тепловых потоков вдоль оси Ох на распределение приращений температур в плоскости yOz.

Для определения приращений температуры точек, расположенных позади источника теплоты, можно использовать

рис. 6.14 распределение приращений температуры, описываемое уравнением (6.42), в области остывания мало отличается от распределения, описывав-

Рис. 6.14. Распределение приращений температуры при движении мощного быстродвижу-щегося точечного источника по поверхности массивного тела (q = 21 кВт, v = 1 см/с): а — распределение приращений температуры по линиям, параллельным оси Ох; б — изотермы на поверхности тела

Весьма распространенный случай — нагрев пластины, когда источник теплоты начинает свое движение от ее края (рис. 6.16,6). Помимо того что здесь происходит процесс теплона-сыщения, наблюдается также отражение теплоты от границы /—/. Учет отражения, если это необходимо, может быть выполнен путем введения фиктивного источника теплоты, который начинает движение одновременно с действительным источником теплоты из точки О, перемещаясь в противоположном направлении. Оба источника теплоты действуют в бесконечной пластине. Приращение температуры в точке А определится как сумма приращений температур от действительного и фиктивного источников теплоты.

Рис. 6.18. Температурное поле предельного состояния при наплавке на лист толщиной 2 см (q = 4000 Вт, v = 0,1 см/с, А, = 0,4 Вт/(см-К), а = 0,1 см2/с): а — изотермы и кривые максимальных приращений температур на верхней (г = 0) и нижней (z = 6) плоскостях пластины; б — изотермы и кривые максимальных приращений температур в продольной плоскости xOz\ в — изотермы и нормальные к ним линии теплового потока в поперечной плоскости уОг

быть представлена двояко: либо как сумма полей приращений температур множества мгновенных источников теплоты (см. рис. 6.16, в)

различных проходах, т. е. при х\, х2, х3 и т. д.; tn — время, прошедшее с момента пересечения источником теплоты плоскости / — / при соответствующих проходах (нумерация проходов ведется от первого прохода); N — число проходов с начала наплавки. Когда число проходов N велико, т. е. рассматривается установившийся процесс, определение приращения температуры Л7" по формуле (6.60) затруднительно. В этом случае рекомендуется использовать следующий прием. Суммирование приращений температур по формуле (6.60) следует вести до такого значения п = = N', когда Фп(г, tn) заметно отличается от единицы (например, на 3 — 5%). При этом будет найдено значение &TN,a. Остальную часть суммы уравнения (6.60) при п > N', когда Фя(г, tn) ж 1, следует вычислить, используя интеграл

В общем случае соединения двух разнородных стержней с разными поперечными сечениями F\ и F%, разными теплофизи-ческими свойствами с\ pi, K\, а\ и с2 р2, К2, а2, а также с различными коэффициентами температуроотдачи Ь\ и 62 (рис. 6.24) распределение приращений температур A7*i и АГ2 в обоих стержнях будет различным. Но в любом случае температура в точке с координатами х\ = 0, x-t = 0 в стыке должна быть одинаковой. Если один из стержней остывает быстрее другого, то в сечении х = О появляется тепловой поток, при котором теплота от одного стержня передается другому. Рассмотрим вначале случай, при котором устанавливается такой режим изменения температуры в стержнях, при котором тепловой поток через сечение х = О равен нулю. Пусть в каждый стержень в момент введения теплоты Q при t = 0 попало количество теплоты Qi и Q2, а в дальнейшем при t > О стержни между собой не соединены и обмен теплотой между ними через сечение х = О отсутствует. В этом случае

Рис. 6.1. Распределение приращений температуры по радиусу R в различные моменты времени в процессе распространения теплоты от мгновенного точечного источника в полубесконечном теле (д = 2000Дж, ср = 4Дж/(см3-К), а = = 0,1 см2/с)

теплопроводности металла А, приводит к ускорению процесса распространения теплоты. Максимальные достигаемые значения приращений температуры в различных точках остаются теми же самыми, но продолжительность времени с момента введения теплоты до достижения максимальной температуры сокращается во столько раз, во сколько раз повышается теплопроводность материала А,. Указанная закономерность обнаруживается, если преобразовать уравнение (6.2), приняв а = А,/(ср):

Неподвижный непрерывно действующий источник теплоты переменной мощности. Определение приращений температуры точек тела при действии источника теплоты переменной мощности принципиально ничем не отличается от ранее рассмотренных случаев с источниками теплоты постоянной мощности. Если мощность источника теплоты изменяется во времени, т. е. q = q(t), то необходимо взамен постоянной величины q в уравнения (6.9), (6.12) и (6.14) подставить функцию q(t), а затем провести интегрирование. Разумеется, при этом может оказаться, что интегралы взять невозможно. В таких случаях их определение следует производить численно, составляя таблицы или программу для ЭВМ.

а — изотермы на поверхности хОу (штриховая кривая разделяет область нагрева и область остывания); б — изотермы в поперечной плоскости jcOz, проходящей через центр источника; в — распределение приращений температуры по прямым, параллельным оси х и расположенным на поверхности массивного тела; г — распределение приращений температуры по прямым, параллельным оси у и лежащим в поперечной плоскости xOz; д — схема расположения координатных осей

а — изотермы на поверхности пластины (штриховая кривая — точки с максимальными температурами); б — распределение приращений температуры в сечениях, параллельных оси х; в — распределение приращений температуры в сечениях, параллельных оси у; г — схема координатных осей

Рис. 6.10. Распределение приращений температуры по длине стержня при движении плоского непрерывно действующего источника

среду. Распределение приращений температуры при стационарном процессе в стержне зависит от К, b, F и CQ.

Для определения приращений температуры точек, расположенных позади источника теплоты, можно использовать

рис. 6.14 распределение приращений температуры, описываемое уравнением (6.42), в области остывания мало отличается от распределения, описывав-

Рис. 6.14. Распределение приращений температуры при движении мощного быстродвижу-щегося точечного источника по поверхности массивного тела (q = 21 кВт, v = 1 см/с): а — распределение приращений температуры по линиям, параллельным оси Ох; б — изотермы на поверхности тела

Численное определение приращений температуры проводят по формуле