Приращения температуры

Рис. 6.2. Приращения температур от мгновенного точечного источника в полубесконечном теле в зависимости:

Коэффициент А, входит как сомножитель времени t. Поэтому с увеличением А. картина распределения приращения температур в теле остается подобной, но процесс изменения температур ускоряется.

Уравнение (6.21) выражает приращения температур в полубесконечном теле в стадии теплонасыщения, т. е. когда температура отдельных точек непрерывно повышается. Приращение температуры в стадии теплонасыщения численно определяют по номограмме, приведенной в п. 6.3.

Распределение приращения температуры по поверхности массивного тела на расстоянии у, равном 1, 2, 3 см, представлено соответствующими кривыми на рис. 6.8, в. Температура точек при приближении источника теплоты резко возрастает, достигает максимума, а затем убывает. Снижение температуры происходит с меньшей скоростью, чем ее подъем. Максимум температуры в точках, находящихся не на оси Ох, достигается после прохождения источником теплоты плоскости, параллельной yOz, в которой находится рассматриваемая точка. В более удаленных от оси Ох точках максимальная температура достигается позже и имеет меньшее численное значение по сравнению с точками, расположенными ближе к оси Ох. Штриховой линией на рис. 6.8, а соединены точки с максимальной температурой на плоскости хОу. Поверхность раздела областей нагрева и остывания получается путем вращения штриховой кривой относительно оси Ох. Область впереди штриховой кривой нагревается, позади — остывает.

При движении источника теплоты на поверхности сплошного цилиндра по винтовой линии малого шага (см. рис. 6.19, г) приращение температуры точек Л и В выразится как сумма приращения температур от мгновенных кольцевых источников, расположенных на различных расстояниях х от точек А и В и для которых время t, прошедшее с момента пересечения плоскости / — / движущимся источником теплоты, различно:

различных проходах, т. е. при х\, х2, х3 и т. д.; tn — время, прошедшее с момента пересечения источником теплоты плоскости / — / при соответствующих проходах (нумерация проходов ведется от первого прохода); N — число проходов с начала наплавки. Когда число проходов N велико, т. е. рассматривается установившийся процесс, определение приращения температуры Л7" по формуле (6.60) затруднительно. В этом случае рекомендуется использовать следующий прием. Суммирование приращений температур по формуле (6.60) следует вести до такого значения п = = N', когда Фп(г, tn) заметно отличается от единицы (например, на 3 — 5%). При этом будет найдено значение &TN,a. Остальную часть суммы уравнения (6.60) при п > N', когда Фя(г, tn) ж 1, следует вычислить, используя интеграл

При наплавке на полый толстостенный цилиндр по винтовой линии малого шага также можно использовать схемы быстродви-жущегося источника теплоты. Принципиально ход рассуждений при выводе формул тот же самый, что и в случае сплошного цилиндра. Приращения температур определяют по формулам, структура которых аналогична структуре формул (6.60) и (6.62). Отличие заключается в том, что вместо функции Фп(г, tn), выражающей выравнивание температур в сплошном тонком диске, в формулу входит функция Фя(г, /п) [см. формулу (6.52)], выра-

точек, расположенных вдалеке от линии сплавления, с максимальным приращением температуры до 700.. .800 К можно считать bnf = f/2, что условно соответствует минимальной глубине проплавления. При необходимости определения термических циклов вблизи линии сплавления или самой глубины проплавления вначале нужно найти 6пр. Для этого необходимо в (7.50) про-варьировать значения Ь„р, положив в пределах интегрирования первого интеграла, а также в подынтегральном выражении второго интеграла у — Ьпр> а ДГтах= Тпл— Т». Это условие означает, что берется такое максимальное значение A\B\ = 2bnf, при котором еще достигается приращение температуры, обеспечивающее температуру плавления металла в точке с координатой у=Ьпр. После того как определено Ьпр, расчет приращения температур можно проводить для любых точек.

При распространении теплоты в пластине от мгновенного линейного источника [см. формулу (6.6)] поверхностная теплоотдача учитывалась путем введения сомножителя е~Ь1, который показывает уменьшение приращения температуры в среднем, не отражая неравномерности по толщине б. Неравномерность температуры по толщине пластины АГв при распространении теплоты от мгновенного линейного источника теплоты может быть определена по формуле

Отличие алгоритма расчета по нелинейной схеме от описанного в § 3.5 состоит в том, что на каждом шаге по времени организуется итерационный процесс, в котором вычисляются новые значения коэффициентов разностных уравнений и решаются методом прогонки системы разностных уравнений относительно u(ns> (или Au^). Для этого в программе в цикл по времени следует «вложить» цикл по итерациям (s = 1, ..., k). Особенностью программной реализации является также то, что следует предусмотреть одномерные массивы длиной N для хранения следующих температур: и(„~1) — температуры предыдущей итерации данного шага по времени; и'п~~ 1 — температуры предыдущего временного слоя; u(ns> — температуры текущей итерации (или приращения температур Д«„8) ), вычисляемые в процессе решения системы разностных уравнений. Алгоритм программы для решения задачи по нелинейной схеме с помощью метода простой итерации приведен на рис. 3.10. Отметим, что после выполнения каждой итерации содержимое массива температур текущей итерации следует перевести в массив температур предыдущей итерации, а после выполнения каждого шага по времени

— поля приращения температур 179 Неопределимость статическая 87, 173, 512

Температура точек тела, расположенных на различных расстояниях R от точки О, вначале повышается, достигает максимума, а затем уменьшается (рис. 6.2, б). Чем дальше от места введения теплоты находится точка, тем позже достигается максимальная температура и тем ниже ее значение. С течением времени конечное количество теплоты растекается в неограниченном объеме полубесконечного тела и приращения температуры всех точек стремятся к нулю.

Суммируем приращения температуры от всех элементарных источников теплоты на линии ОО0. Время распространения теплоты от мгновенного источника в точке О равно нулю, а от мгновенного источника в точке 00 равно ta. Поэтому интеграл берем в пределах от 0 до tH:

Распределение приращения температуры по поверхности массивного тела на расстоянии у, равном 1, 2, 3 см, представлено соответствующими кривыми на рис. 6.8, в. Температура точек при приближении источника теплоты резко возрастает, достигает максимума, а затем убывает. Снижение температуры происходит с меньшей скоростью, чем ее подъем. Максимум температуры в точках, находящихся не на оси Ох, достигается после прохождения источником теплоты плоскости, параллельной yOz, в которой находится рассматриваемая точка. В более удаленных от оси Ох точках максимальная температура достигается позже и имеет меньшее численное значение по сравнению с точками, расположенными ближе к оси Ох. Штриховой линией на рис. 6.8, а соединены точки с максимальной температурой на плоскости хОу. Поверхность раздела областей нагрева и остывания получается путем вращения штриховой кривой относительно оси Ох. Область впереди штриховой кривой нагревается, позади — остывает.

Температура в направлении от источника теплоты убывает обратно пропорционально R, т. е. по закону гиперболы. Приращения температуры на данном расстоянии R прямо пропорциональны мощности источника теплоты q и обратно пропорциональны коэффициенту теплопроводности К. Распределение температуры не зависит от теплоемкости материала ср.

Картины распределения приращения температуры в пластине (рис. 6.9) и в плоскости хОу массивного тела (см. рис. 6.8) качественно имеют много общего. Отличие заключается в том, что изотермы в пластине еще более вытянуты, чем в полубесконечном теле. Степень вытянутости изотерм зависит не только от условий сварки и теплофизических свойств материала, но и от теплоотдачи в воздух.

Интегрируем приращения температуры от всех мгновенных источников теплоты в пределах от 0 до ta-

Представим приращения температуры Д7 в периоде теплонасыщения как произведение приращения температуры в предельном состоянии ДГпр на коэффициент теплонасыщения гз:

Температуру в период выравнивания можно определять путем использования фиктивного источника теплоты и стока теплоты аналогично случаю, рассмотренному выше (в п. 6.1). Рассмотрим случай, когда источник теплоты в точке Ок прекратил движение и перестал действовать (рис. 6.12,6). Будем, однако, предполагать, что фиктивный источник теплоты той же мощности продолжает свое движение с той же скоростью v. Вместе с ним движется фиктивный сток теплоты такой же мощности, как источник. Очевидно, что источник и сток теплоты будут взаимно уничтожаться. Формальное введение фиктивных источника и стока теплоты необходимо лишь для удобства численного определения приращения температуры в период ее вырав-

нивания. Допустим, что спустя время ^ф после прекращения действия источника теплоты требуется определить приращение температуры в неподвижной точке пластины А (х, у], координаты которой записаны в движущейся системе координат. За время /ф начало движущейся системы координат переместится в точку О. Приращение температуры точки А определится как разность двух приращений температур: приращения температуры от источника теплоты А7"и, который действовал в течение времени /, продвигаясь из точки 00 в точку О, и приращения температуры от стока теплоты АГС, который действовал в течение времени /ф на участке 0К0:

Оба приращения температуры АГ„ и АГС в уравнении (6.36) можно выразить через приращение температуры предельного состояния и соответствующие коэффициенты теплонасыщения:

Последний случай соответствует периоду выравнивания температур после достижения предельного состояния. Пример был иллюстрирован определением приращения температуры в точке А, принадлежащей пластине. Аналогично вычисляют приращения температуры для точек массивного тела и стержня: при этом -фа и i>i, а также АГпр берут по формулам (6.22) и (6.30).