Преобразований координат

Сущность функциональных листов до сих пор демонстрировалась лишь на примере преобразований физических или технических величин. Но этим их возможности не исчерпываются. В функциональных листах могут быть отражены различные активные связи, если исходить из того, что все функции охватываются понятиями «сохранение», «ретрансляция» (дальнейшая передача), «преобразование», а описанные в п. 9.8 способы их изображений сохраняются. Для создания картотек листов конечно необходимо сотрудничество многих специалистов. Эффект рационализации от применения листов не поддается оценке, ибо пока нет статистических данных о том, какое количество инженеров, при каких затратах времени и за какой календарный срок должны были бы кропотливо собирать сведения при отсутствии листов. При этом следует еще помнить и о том, что подобная предварительная работа в отдельных случаях может быть проделана впустую, если в конечном счете будут избраны другие пути решения.

Перейдем к изучению подобных преобразований физических уравнений, содержащихг-дифференциальные операторы и переменные под знаком интеграла. Особенности анализа подобия явлений, описываемых дифференциальными и интегральными уравнениями, связаны с масштабными Преобразованиями -указанных операторов.

В качестве примера масштабных преобразований физических уравнений, содержащих дифференциальные операторы, рассмотрим уравнения краевой задачи об изгибе консольной балки (см. рис. 3.2) для объекта 1 [84]:

В заключение обсуждения вопросов подобия механических систем на основе масштабных преобразований физических уравнений сформулируем три основные теоремы подобия [37].

Таким образом, существенным элементом при исследовании подобия методом масштабных преобразований физических уравнений с целью последующего моделирования механических состояний или процессов являются преобразования подобия начальных и краевых условий совместно с преобразованиями самих дифференциальных уравнений.

Роль краевых условий при исследовании подобия методом масштабных преобразований физических уравнений особенно наглядно видна из рассмотрения соотношений (3.31). Оба подчеркнутых дважды уравнения Ьвязи являются здесь существенными условиями подобия и моделирования, которые нельзя получить из; 64

В отличие от уравнений связи (3.31), полученных путем подобных преобразований физических уравнений, метод анализа размерностей в нашем случае приводит к пяти критериям подобия (п = 8, г — 3, k = п — г = 5), из которых следуют несколько другие уравнения для выбора масштабов моделирования:

Принимая во внимание, что особенности моделирования элементов машин за пределом пропорциональности непосредственно связаны с характером соотношений между напряжениями и деформациями материала конструкции, ограничимся рассмотрением масштабных преобразований физических уравнений теории пластичности.

Следуя далее стандартным процедурам метода масштабных преобразований физических уравнений (5.32) — (5.37), придем к уравнениям связи между масштабами:

Пользуясь методом масштабных преобразований физических уравнений (§ 3.2), получим условия инвариантности системы уравнений (6.14) — (6,18) для модели и натуры. Эти условия, как было показано в гл. 3, устанавливают соотношения между выбранными масштабами переменных в форме уравнений связи (индикаторов подобия). Для системы дифференциальных урав-

Принимая во внимание теоремы подобия (§ 3.5), до сих пор мы считали, что в результате масштабных преобразований физических уравнений и краевых условий правила моделирова-

Это соотношение представляет собой одно из искомых преобразований координат.

(где t и t' — время, отсчитываемое соответственно по часам, покоящимся в К и К'} носят название галилеевых преобразований координат. Они отражают переход от одной системы координат к другой в случае, когда одна из систем координат движется относительно другой равномерно со скоростью v вдоль оси х (конечно, при указанных выше ограничениях относительно скоростей).

Рассмотрим применение матричного метода для исследования шестизвенной открытой пространственной кинематической цепи механической руки ПР «Версатран» (рис. 18.14) путем ортогональных преобразований координат.

Аналитический метод синтеза сопряженных поверхностей в пространственном зацеплении. Как видно из предыдущего примера синтеза сопряженных профилей в плоском зацеплении, основным этапом этого синтеза является определение положения звена, при котором выбранная точка его профиля входит в контакт с другим профилем. При аналитическом решении на основании уравнения зацепления этот этап сводится к решению квадратного уравнения. Для пространственного зацепления полностью сохраняется вся последовательность выполнения указанных трех этапов, и решение задачи также сводится к решению квадратного уравнения. Только при выполнении преобразований координат и при определении проекций на координатные оси добавляются слагаемые, содержащие координаты z0, г\ и Z2.

Определяющие уравнения вязкоупругой композиционной (или монолитной) среды, обладающей частными свойствами механической симметрии, могут быть получены из уравнений (10) и (И) таким же образом, как и в случае упругой среды, т. е. из требования инвариантности тензоров модулей релаксации и вяз-коупругих податливостей относительно соответствующих преобразований координат, не зависящих явно от времени (Сокольников [108]1)).

Поскольку математическая структура критерия максимального напряжения идентична структуре критерия максимальной деформации, при анализе данного критерия с позиций основных требований, предъявляемых к математической модели, мы обнаружим те же недостатки, которые были отмечены для критерия максимальной деформации. Мы не будем заниматься повторным перечислением этих недостатков; отметим только еще раз, что критерий максимального напряжения представляет собой вырожденный случай тензорно-полиномиальной формулировки. Он инвариантен относительно преобразований координат, но чрезвычайно громоздок и не обладает достаточной гибкостью для описания поверхностей прочности общего вида. Этот критерий представляется удобным для описания прочностных свойств композитов, армированных в двух взаимно перпендикулярных направлениях и обладающих весьма малыми модулями упругости. Но даже для подобных материалов отношения пределов прочности должны удовлетворять условиям (Зба) —(Збе).

В этой статье приведен и список литературы, относящейся к обсуждаемой проблеме. В статье показано, что свойства текстур и кристаллов можно задавать при помощи тензоров. Эта задача связана с теорией групп — с рассмотрением группы симметрии, образованной системами преобразований координат.

Углы
941. В теории электрических машин переменного тока предложены различные системы преобразований координат для получения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [16, 58, 91].

Система дифференциальных уравнений (1.17) описывает в координатах ф1; ф* движение цепной двухмассовой динамической схемы (рис. 6, г). Рассмотренный пример показывает, что идентификация цепной динамической схемы механической системы может быть неоднозначна. Структура цепной динамической схемы зависит от выбора независимых обобщенных координат и может быть упрощена при помощи линейных преобразований координат.

3. Составляется аффинерное равенство произведений верзоров, эквивалентное произведению преобразований координат к одной какой-либо системе, преимущественно неподвижной, связанной со стойкой: