Преобразования компонентов

прослойках, нагруженных по "жесткой схеме", использовали распределение напряжений а'у и G'X, полученные методом линий скольжения по оси симметрии прослойки, и формулы преобразования компонент напряженного состояния при повороте системы координатных осей на угол ф. Используя условия эквивалентности напряжений су внешнему' предельному усилию ОСр, были получены выражения для определения величины контактного упрочнения наклонных прослоек с учетом схемы их нагружения:

из табл. 3.5, по формулам преобразования компонент тензора четвертого ранга:

3.6. Формулы преобразования компонент матрицы жесткости монослоя при повороте вокруг оси 3 на угол 6 (at = cos 9, a2 = sin 0)

прослойках, нагруженных по жесткой схеме , использовали распределение напряжений <у' и <з'х, полученные методом линий скольжения по оси симметрии прослойки, и формулы преобразования компонент напряженного состояния при повороте системы координатных осей на угол <р. Используя условия эквивалентности напряжений су внешнему предельному усилию <7Ср, были получены выражения для определения величины контактного упрочнения наклонных прослоек с учетом схемы их нагружения:

Из уравнения (18) в сочетании с известными выражениями для преобразования компонент деформации можно получить следующие зависимости для использования критерия максимальных деформаций:

для направления 8, можно пересчитать — в соответствии с правилами преобразования компонент тензоров (6) — для произвольного направления 6' (см. рис. 3), полученный критерий может служить условием разрушения и для направления 9'; чтобы найти это условие, следует подставить в уравнение (56) преобразованные компоненты F'., F'{j. Таким образом можно, например, получить предел прочности при одноосном растяжении — сжатии в направлении оси 6' нормальным напряжением а[ и: прийти к уравнению

Сразу ясно, что соотношения (19а) и (196) представляют собой обычные формулы преобразования компонент тензоров соответственно второго и четвертого ранга, определяемых формулами (15); таким образом, мы установили, что

Критерий максимальной деформации, записанный в виде (146), представляет собой вырожденный случай общей тензорно-полиномиальной формулировки (10); коэффициенты, входящие в развернутую форму условия (146), подчиняются обычным правилам преобразования компонент тензоров. (20)

Критерий максимального напряжения представляет собой вырожденный случай тензорно-полиномиального критерия (56) в напряжениях, и коэффициенты соответствующего выражения подчиняются закону преобразования компонент тензора. (33)

Критерий Мизеса — Хилла, записанный в тензорно-поли-номиальной форме, можно записать в произвольной системе отсчета при помощи обычных правил преобразования компонент тензоров. (436)

из табл. 3.5, по формулам преобразования компонент тензора четвертого ранга:

§ 5.9. Формулы преобразования компонентов напряжения ........ 393

§ 6.4. Формулы преобразования компонентов деформации при повороте

§ 5.9. Формулы преобразования компонентов напряжения

Рис. Б.8. К выводу формул преобразования компонентов .напряжений при повороте осей (плоское напряженное состояние): о) к определению oXl и т*^,; б) к определению

3. Формулы преобразования компонентов напряжений при повороте системы координатных осей. Даны матрицы:

Формулы (5.18*) преобразования компонентов при изменении системы координатных осей являются определяющими понятие симметричного тензора второго ранга (см. Дополнение).

§ 6.4. Формулы преобразования компонентов деформации при повороте, прямоугольной системы координатных осей

2.1. Формулы преобразования компонентов напряжений при переходе от полярной системы координат к декартовой. Прежде всего составим уравнения пространственной задачи теории упругости в цилиндрических координатах.

а формулы преобразования компонентов напряжений в системе осей rftz в компоненты напряжений в системе осей хуг записываются так:

Правые части равенств (4) или (6)— формул преобразования компонентов тензора второго ранга при переходе от одной прямоугольной системы координатных осей к другой аналогичной системе представляют собой квадратичные функции (функции второй степени) относительно направляющих косинусов /lt тъ ... ..., ns. Аналогично, в равенствах (1) преобразования компонентов тензора первого ранга (вектора) при переходе от одной системы ортогональных осей к другой системе, правые части представляют собой линейные функции (функции первой степени) относительно направляющих косинусов /ь ть . . . , и3. Учитывая неизменность числа а, определяющего тензор нулевого ранга (скаляр) в любой системе координат, формулу преобразования для скаляра при переходе от одной системы ортогональных осей к другой, аналогичной, можно представить в виде

Правая часть этого равенства представляет собой функцию нулевой степени относительно направляющих косинусов /ъ mi, . . . , п3. Итак, ранг тензора совпадает со степенью относительно направляющих косинусов /!, /пь . . . , п8, функции, представляющей собой правую часть формул преобразования компонентов тензора при переходе от одной системы ортогональных координатных осей к другой аналогичной системе.