Преобразованию координат

т. е. при таком преобразовании координат не изменился вид уравнения, но изменился лишь вид функций Fi, входящих в его правую часть.

Далее в этой главе будет введена более удобная запись уравнений движения, ковариантная по отношению к произвольным точечным преобразованиям *) вида (4). Эта запись для системы из N точек будет содержать только 3N -- 1 функций, меняющихся при преобразовании координат; выражения для этих функций сравнительно просты, и они имеют ясный механический смысл. Более того, в важном случае движения в произвольном потенциальном (в том числе и в нестационарном) поле уравнения, описывающие систему из N точек, будут содержать лишь одну такую функцию.

Утверждение, обратное принципу Гамильтона, важно и по другой причине: оно позволяет установить, как изменяется лагранжиан при преобразовании координат и времени, и тем самым разъяснить, что собственно имеется в виду, когда утверждается, что уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к таким преобразованиям. Рассмотрим преобразования

Воспользовавшись формулой преобразования кратного интеграла при преобразовании координат, определим фазовый объем Vt в момент / = /„--т:

В опрос о преобразовании координат, относящихся к одной и той же инерциальной системе отсчета, является чисто математическим, а вопрос о преобразовании координат, относящихся к различным инер-циальным системам отсчета, является вопросом физики. Он может быть решен только с помощью эксперимента.

преобразовании координат различные физические и геометрические величины, вообще говоря, изменяют свои числовые значения. Например, положение некоторой точки характеризуется тремя числами (х\, у\, г\). При изменении системы координат эти числа меняются. Ясно, что они характеризуют не какое-либо объективное свойство точки, а лишь положение точки относительно конкретной системы координат.

Если величина не изменяет своего числового значения при преобразовании координат, то '-но означает, что она имеет объективное значение, независимое от выбора той пли иной системы координат Такие величины отражаю': свойства самих изучаемых явлений и предметов, а не отношения этих явлений и предметов к системе координат, в которой они рассматриваются. Величины, числовые значения которых не изменяются при преобразовании координат, называются инвариантами преобразований. Они имеют первостепенное значение в физической теории. Поэтому необходимо изучить инварианты преобразований Галилея.

Для рассмотрения вопроса о преобразовании координат возьмем точку, имеющую в системе К, в момент t координату х; точка О' имеет в этот момент координату х — vt. При этом, так как оба расстояния

многократном преобразовании координат за счет схематизации решения.

удачным, так как матрицы дают лишь простую форму записи необходимых вычислений, но не определяют содержание метода. В рассмотренной задаче об определении положений звеньев механизма содержание метода состоит в преобразовании координат, которое может быть выполнено без применения матриц.

Иногда методы кинематического анализа механизмов с применением матриц называют матричными методами, что нельзя считать удачным, так как матрицы дают лишь простую форму записи необходимых вычислений, но не определяют содержание метода. В рассмотренной задаче об определении положений звеньев механизма содержание метода состоит в преобразовании координат, которое может быть выполнено без применения матриц.

Матрица [Кх] = [А] — [В][С] ЧД] является приведенной. Переход от (11) к (12) равнозначен преобразованию координат

Рис. 26. К преобразованию координат при поступательном относительном движении.

Рис. 27. К преобразованию координат при вращательном относительном движении.

При переходе к аффинному преобразованию координат мотора, совершаемому с помощью операторов-аффиноров, будем иметь вместо выражения (3.117) следующее:

Определение координат ?0, т)0) ^0 точки О в подвижной системе равносильно преобразованию координат ХА, уА, ZA точки А, взятых с обратным знаком из пространства хуг, к пространству т)С. Так как начало системы координат ?т)? совмещено с началом А вектора AS, то такое преобразование будет однородным и представляет собой группу вращений пространства хуг, определяемую матрицей