Приближенные уравнения

Приближенные выражения для YI и Y2 (ограничившись одночленным приближением) берем в виде

Вблизи антирезонансной частоты при излучении в среду без промежуточных слоев приближенные выражения для этих составляющих имеют вид:

Подставим в уравяение (10.4) приближенные выражения [(10.6), полагая

В случае высокомодульной арматуры (например, углеродных и борных волокон) некоторыми членами в зависимостях (4.13)—(4.19) можно пренебречь и значительно упростить последние. В табл. 4.1 приведены приближенные выражения для расчета упругих свойств композиционного материала с противофазным искривлением волокон, полученные при пренебрежении в указанных зависимостях членами, имеющими порядок vZjEf/Ej.

III. Приближенные выражения для эффективных упругих модулей . . 77

III. Приближенные выражения для эффективных упругих модулей

Систематическое исследование волокнистых композитов с применением двоякопериодических функций можно найти в работе Куршина и Фильштинского [104]. Они рассмотрели задачу о растяжении изотропной пластины, ослабленной двоякоперио-дической системой круговых отверстий. Впоследствии эти результаты были распространены на композиционные материалы (Филынтинский [38], Григолюк и др. [54], Григолюк и Фильш-тинский [55, 56]). С 1965 г. Ван Фо Фы (Ванин) и его соавторы стали систематически применять двоякопериодические функции. Сначала задача была поставлена в общем виде (Ван Фо Фы и Савин [154], Ван Фо Фы [145]). Затем Ван Фо Фы указал точные и приближенные выражения для модулей сдвига [146], а также для других эффективных модулей [147—152]. Ван Фо Фы рассматривал и композиты, содержащие полые волокна [148, 150]. Распределение напряжений дается в работах Ван Фо Фы и Клявлина [153], Клявлина [100, 101], Францевича и Карпиноса [51, первые девять глав]. Наконец, следует заметить, что в работе Мейерса [118] были получены некоторые результаты для композитов, содержащих жесткие волокна.

Как правило, для любого реального материала эти функции очень сложны, и для того, чтобы границы можно было использовать на практике, следует принять какую-либо модель, позволяющую упростить / и К. Миллер [31] разработал такую модель; мы приведем краткую сводку полученных им результатов. Важно указать, однако, что для глубокого понимания свойств реальных материалов необходимы исследования, включающие измерение трехточечных корреляционных функций, а также вычисление / и /С. После этого можно проверить пригодность различных моделей и создать новые модели, предложив для корреляционных функций приближенные выражения. Корсон [15] измерил обе трехточечные корреляционные функции для образцов, полученных прессованием порошкообразных смесей РЬ — А1 и Pb — Fe. Занимаясь упругими, а не тепловыми или электрическими свойствами, он вычислил аналоги интегралов I и К (/ и /С можно свести к трехкратным интегралам и взять численно). Корсон показал, что измеренная эффективная постоянная для сдвига лежит в границах, определяемых аналогом неравенства (73). Эти границы лежат внутри интервала Хашина — Штрикмана и уменьшают его ширину почти вдвое. В ходе работы Корсон вывел приближенные аналитические выражения для трехточечной корреляционной функции,

-----приближенные выражения 77—81

Эффективные упругие модули, приближенные выражения, гранулированные композиты 77—79

Н. А. Кильчевский [24], применив преобразование Лапласа, получил приближенные выражения для закона изменения контактной силы во времени Р (t) при ударе и оценил условия, при которых применима статическая зависимость силы от перемещения с учетом собственных колебаний соударяющихся тел. Для -определения контактных деформаций он применил .теорию Герца, а для решения задачи о колебании соударяющихся тел — теорию Тимошенко. Методом последовательных приближений он рассмотрел единичный удар и повторное соударение при поперечных ударах шара по балке. Справедливо обосновав положение, что на первом этапе (до достижения максимальной контактной силы) основное влияние на процесс удара оказывают местные деформации сжатия, а на втором (при упругом восстановлении) — колебания балки и шара, Н. А. Кильчевский предложил расчетные формулы для вычисления наибольшей силы взаимодействия между шаром и балкой, а также продолжительности контакта. Полученные громоздкие зависимости им упрощены и распространены на широкую группу контактных задач. В работе [24] при применении интегрального преобразования проведена аналогия между зависимостью контактной деформации и силой удара (предложенной Герцем) в пространстве изображений и оригиналом, т. е.

Получаемые при этом приближенные уравнения приведены в табл. 36.

Приближенные уравнения для расчета диффузии кислорода к катодам (катод — площадь круга с радиусом гк)

Решение системы (5.75) при ц Ф 0 будем искать в виде (5.76), считая а, 6, рх и 32 медленно меняющимися функциями времени. Проделав выкладки, аналогичные проделанным в предыдущем параграфе, получим для определения а, Ь, р\ и Рз следующие приближенные уравнения *):

где аъ аг, b и я> будем считать медленно меняющимися функциями времени. Аналогично предыдущим случаям получим для определения аь а2> b и if приближенные уравнения:

Если искать решение системы уравнений (5.110) при (л Ф О в виде (5.111), считая a, b, PJ и Р2 медленно меняющимися функциями времени, то приближенные уравнения для определения a, b, P! и Р2 будут da 1

где alr a2, ^ и 'Ф — медленно меняющиеся функции времени. Приближенные уравнения для определения ab a2, i) и \j; в этом случае будут

Приближенные уравнения для определения медленно меняющихся функций времени аь blt Ьг и яз будут

Оценивая порядок различных членов уравнений (2.4.21), полагая при этом a — ст0 и ф — я/4 малыми величинами и отбрасывая те из них, которые малы по сравнению с остальными, получим приближенные уравнения:

Аналогично изложенному, оценивая порядок членов в уравнениях (2.4.27), полагая va — D& и up — wp малыми величинами и опуская те из них, которые малы по сравнению с остальными, получим приближенные уравнения

Из этих двух соотношений вытекают, например, обсуждавшиеся выше приближенные уравнения (95) и (101). Однако в некоторых случаях следует использовать этот метод более аккуратно, например в таких задачах, когда одно из уравнений (121) или (122) значительно точнее другого. Этот вопрос будет подробно обсуждаться в разд. V, А.

Первая из этих проблем теоретически исследована в работе Стройка [113], в которой получены удобные для применения приближенные уравнения для вычисления комплексных модулей по характеристикам свободных колебаний в произвольных линейных вязкоупругих образцах. Предлагается также метод оценки точности полученного решения. Один из важных результатов относится к точности самих уравнений, обычно используемых для определения комплексных модулей; эти уравнения выводятся из элементарного дифференциального уравнения свободных колебаний, получающегося из соответствующего уравнения для упругого материала при замене упругих постоянных комплексными модулями и податливостями. Хотя в большинстве случаев такое уравнение не является точным, Стройк установил, что для вязкоупругих материалов с малыми тангенсами углов потерь, таких, например, как аморфные полимеры при температуре ниже Те, эта элементарная теория дает результаты, хорошо согласующиеся с истинными характеристиками.