Приближенных уравнений

где а( — произвольные константы. Возникает вопрос о точности получаемых приближенных решений и о необходимом числе слагаемых ряда (4.190). Так как точное решение отсутствует, то получить абсолютную оценку сходимости приближенных решений нельзя. Поэтому остается только возможность судить о сходимости приближенных решений по относительным оценкам, сравнивая между собой решения с различным числом слагаемых ряда (4.190). Например, получив решения для двух приближенных выражений Mni— ai^'i и Un2=0if 1+02^2, найдем их разность Д«ш — «п2 — "ш-Если максимальное значение A«ni [на интервале (О, 1)] меньше или равно допустимому, которое задается исходя из требований, предъявляемых к точности решения, т. е. max Auni ^Амд, где Аыд — допускаемая погрешность в решении, то можно считать, что vz есть решение исходной задачи. Если же max Auni >Аид, то следует получить решение для 1^3=^1^1+02^2+03^3 и сравнить его с решением ып2, т. е. проверить выполнение условия

в теории случайных процессов называется поток точечных событий, случайные интервалы времени между которыми взаимно независимы и имеют одинаковое распределение.) Теорема Реньи гласит, что если к случайному потоку применять операцию разрежения (просеивания), которая состоит в исключении точек потока с некоторой вероятностью, не зависящей ни от времени, ни от номера точки в исходном потоке, ни от того, каким образом развивался процесс разрежения на предыдущих шагах, то образуемый в результате регулярного применения указанной процедуры поток асимптотически стремится к пуассоновскому. Конечно, результатом теоремы Реньи можно воспользоваться и в допредельном случае для получения приближенных выражений.

Векторы t*, t отличаются от приближенных выражений (5.16), (5.17) для t, t только тем, что в них удержаны величины еъ е2, которые в линейной теории оболочек считались малыми по сравнению с единицей.

Сложность задачи обусловлена тем, что при введенной выше замене дифференциальных соотношений разностными шаг решения, во избежание заметной ошибки, должен быть малым. При использовании приближенных выражений (9) шаг решения с учетом того, что на начальном и конечном участках подъема толкателя его ускорение меняется довольно быстро, не должен превышать нескольких градусов угла поворота кулачка. Если, например, взять Аф = 3°, то общее число N расчетных точек составит 40—50. Таким образом, даже при р = 2, т. е. при проверке поведения механизма всего на двух скоростных режимах, общее число уравнений в сформулированной выше задаче составит от 240 до 300, а общее число неизвестных — от 278 до 348. Подобные задачи можно решать только с помощью самых мощных современных вычислительных машин.

Таким образом, можно установить экстремальные значения радиуса кривизйй. Очевидно, что в связи с достаточностью приближенного определения Qn следует попытаться найти наиболее простые выражения для установления минимального значения gn min, которое представляет практический интерес. Легко видеть, что уравнения (2) или ('2*) вполне пригодны для быстрых расчетов Qnmi,,, которые будут иметь место при начальных значениях модулей ра-диусов-векгоров г0 профилей кулачков. Таким образом, отпадает необходимость в поисках приближенных выражений, а также графических решений.

отсутствует, то получить абсолютную оценку сходимости приближенных решений нельзя. Поэтому судить о сходимости приближенных решений можно только по относительным оценкам, сравнивая между собой решения с различным числом слагаемых ряда (2.136). Например, получив решения для двух приближенных выражений Ъ(у^ = а^ и t>2 = a1v1 + aai>2), найдем их разность Дуг = у2 — уь которая может служить оценкой точности получаемых решений. Если максимальное значение Диг (на интервале 0—1 меньше или равно дбпу-стимому), которое задается исходя из требований, предъявляемых к точности решения

Значение тз устанавливается исходя из указанных выше технико-экономических расчетов. Целесообразность учета действительного значения индивидуально каждого переменного параметра также устанавливается по значению величины ф или по значению Д1<2доп(Л<5дОП). Величина if> зависит от точности применяемых приближенных выражений, аппроксимирующих действительные уравнения расхода, точности применяемых первичных датчиков, стоимости самой аппаратуры, ее эксплуатации и других факторов.

При приближенном рассмотрении процессов предполагается, что существенные изменения давления обусловлены трением в трубопроводах, дросселированием в регулирующих клапанах, а также сжатием или расширением в машинах, работающих на принципе истечения; помимо этого учитывается, что изменение-давления связано с заметным изменением плотности, что приводит к изменению объема всей среды или доли ее. Расчеты показывают, что эффект аккумуляции следует учитывать не только в больших резервуарах, но что нельзя также пренебрегать содержанием вещества и в трубопроводах. Зависимость между упомянутыми изменениями давления и плотности описывается уравнениями термодинамического состояния среды. И эту зависимость-следует учитывать цри расчетах. Приведенный ниже вывод приближенных выражений передаточных функций основан на б а-лансе масс и давлений и на уравнениях термодинамического состояния.

Для алюминия максимальная величина пробега Р-частиц может быть найдена из приближенных выражений (см):

В случае //, <С А достаточно точное значение L можно найти с помощью приближенных выражений для Р^- [29], если же, кроме того,

Получен рад приближенных выражений зля фуккцкк F(f)s которые „ прйкм«-аекой точ-

Отсюда следует, что если Q'u < 0, то точки линии Q (х, у) = О являются устойчивыми особыми точками для приближенных уравнений быстрых движений и все траектории быстрых движений входят в область медленных движений. Следовательно, условием несущественности малого параметра является условие Q'y < 0 *). При Q'u > 0 точки линии

числом измерений k <; л) (0 <а < 1), являются устойчивыми состояниями равновесия для приближенных уравнений быстрых движений

Система приближенных уравнений (15.45) может быть использована для определения переменных и, А и в переходных режимах путем численного интегрирования. В дальнейшем ограничимся исследованием стационарных режимов движений, под которыми будем понимать режимы движения при постоянных значениях величин и , А и , т. е. при постоянной угловой скорости двигателя и гармонических колебаниях ползуна вибратора.

Использование теории слоистых конструкций (пластин или оболочек) в исследовании композитов служит двоякой цели. Кроме приближенных уравнений полей, которые используются при решении конкретных краевых задач, получаются определяющие соотношения для самого слоистого материала. Иначе го-

Особенно резкий подъем в развитии теории обработки металлов давлением наступил в послевоенный период, когда советскими исследователями метод главных напряжений был преобразован в метод совместного решения приближенных уравнений равновесия и пластичности, полностью сохраняющий свое значение в настоящее время (Е. П. Унксов, М. В. Сторожев, С. И. Губкин, Л. А. Шофман и др.).

После подстановки формулы (I. 110) в выражение (I. 109а) получается система двух приближенных уравнений

Дифференциальные уравнения решались модифицированным методом Эйлера. Модификация численного метода заключается в том, что в некоторых случаях, напри-' мер при решении уравнений (4.73), (4.74), в качестве нулевого приближения выбиралось аналитическое решение приближенных уравнений.

1) метод составления и использования приближенных уравнений равновесия и пластичности [34, 35];

В научной литературе встречается много приближенных уравнений, описывающих колебания вырожденных систем [8, 22, 23, 30], которые основаны на тех или иных предпосылках физического характера о поведении продольных и поперечных усилий по сечению в вырожденной системе и других механических величин. Затем появились различные уточнения классических уравнений колебаний, зачастую не согласующиеся между собой. В последние годы для вывода приближенных уравнений колебаний вырожденных систем стали применяться математические подходы, основанные на приближенном решении точной трехмерной задачи теории упругости или вязкоупругости с заданными начальными и граничными условиями, характеризующими как геометрию вырожденной системы, так и условия закрепления границ этих систем [22, 23, 43]. Однако каким бы из подходов не пользоваться, всегда должно выполняться очевидное условие — приближенные дифференциальные или инте-гродифференциальные уравнения колебаний должны принадлежать к уравнениям гиперболического типа [8].

Таким образом, задача вывода приближенных уравнений колебания вырожденных систем сводится к решению уравнений

Так как вывод приближенных уравнений колебаний стержня произвольного сечения весьма сложен, то ограничимся стержнями круглого и прямоугольного сечения, при этом искомые величины будем искать, применяя метод разложения этих величин в степенной ряд по вырожденным координатам. В общей случае, коэффициент Пуассона принимается зависящим от времени.