Приближенного аналитического

Рассчитываемая величина Приближенное уравнение

Если принять, что приложенное напряжение соизмеримо с пределом текучести металла ат, то критическая глубина трещины акр достигается еще до того, как коэффициент интенсивности напряжения становится равным KI sec- При этих условиях трещина растет с возрастающей скоростью, пока не произойдет разрушение. На основе предыдущего выражения для KI получено следующее приближенное уравнение:

Приближенное уравнение для расчета KN и AG° очень простое, так как оно полагает ЛЯ298.15=соп81, что относительно справедливо для реакций, идущих с большим изменением энтальпии (300...400 кДж). В этом случае относительная ошибка будет не очень велика:

Пример расчета использует приближенное уравнение, но и при точном расчете порядок счета будет аналогичный.

Как видно, в этой схеме число активных частиц непрерывно возрастает, а следовательно, возрастает и скорость процесса. Приближенное уравнение для вычисления скорости цепной реакции в этом случае будет иметь вид

3. Граница применимости приближенного дифференциального уравнения изгиба балки. Как каждое приближенное уравнение^ уравнение (12.111), или эквивалентное ему (12.109)2 имеет некоторую границу применимости; установим ее.

Для функций положений точки В имеем следующее приближенное уравнение, дающее достаточно точные значения при К ==? 0,25:

Рассмотрим прежде всего приближенное уравнение частот системы при отсутствии трения, которое получается из уравнения (3. 84), если положить и == г — 0. В развернутом виде это уравнение представится так:

21. Гоголев В.М., Мыркин В.Г., Яблоков Г.И. Приближенное уравнение состояния твердого тела // ПМТФ. -1963. - N 5. - С.93-95.

Для оценки относительной погрешности аппроксимации в зависимости от числа измерений N предложено приближенное уравнение при определении площади

Приближенное уравнение повреждений, не требующее столь большого объема исходной экспериментальной информации, можно построить на основе следующих соображений. При данной температуре и частоте нагружения полная поврежденность определяется по формуле

ле круглого преобразователя, излучающего колоколообразные импульсы, в которых амплитуда колебаний за период уменьшается в 6 раз. В связи с возможным изменением формы и длительности импульсов поле вблизи нуля функции Ф определено неточно. Часто за нижнее значение амплитуды основного лепестка принимают значения 0,1; убЛ; 0,5 или уб^5 от максимума. В этих случаях граничное значение угла расхождения определяют по той же формуле (1.57), но с другим значением коэффициента N, указанным в графе 5 таблицы для Ф—К 0,1. Боковые лепестки являются источниками помех, причем наибольший уровень помех соответствует первому, максимальному лепестку. Амплитуда его указана в графе 6 табл. 1.2. Для приближенного аналитического описания поля в пределах основного лепестка круглого преобразователя применяют приближенные формулы

нирные механизмы, П. Л. Чебышев продолжает работать над своим методом приближенного аналитического синтеза механизмов, в работах А. Маннгейма, Дж. Сильвестра, А. Кэйли, Лемуана, Г. Гарта развивается теория математических приборов. Следует указать также на малоизвестные работы профессора Львовского политехнического института Л. Жмурко, не только разработавшего теорию ряда математических приборов, но и создавшего такие приборы, которые давали возможность решения уравнений не выше четвертой степени. В 1877 г. Г. Гарт опубликовал свой метод решения алгебраических уравнений «-ой степени при помощи шарнирных механизмов.

Оптимальные параметры нетрудно подобрать с помощью изложенного ниже приближенного аналитического метода решения основного частотного уравнения (IX. 4) для исследуемого вида характеристики, с учетом передаваемого среднего крутящего момента р?р.

Как будет показано ниже, принятое допущение соответствует замене первого участка характеристики параболой. Сравнение приближенного аналитического решения и проведенного с высокой точностью численного решения уравнения движения показывает, что принятое допущение вносит погрешность не выше 0,5 — 1% при значительном упрощении решения. Этот, вообще говоря, частный прием может быть с успехом применен при исследовании переходного процесса резкого аварийного торможения рабочего оргона в различных машинах, приводимых от асинхронных двигателей. В некоторых случаях оказывается более удобным считать, что ускорение меняется по квадратичной зависимости [65].

Рассмотрим возможности приближенного аналитического определения чисел циклов до разрушения Np, отвечающих заданным значениям аа и сгт, с целью подстановки этих чисел в формулы суммирования повреждений. Наиболее просто искомая зависимость получается из (4.19) при i) = a_lfflau в случае степенной аппроксимации кривой усталости. Полагая <т_ш = A'N^lfa, перепишем условие разрушения

е) Метод итераций. Наиболее известным методом приближенного аналитического решения интегральных уравнений является метод итераций {Л. ПО, 116 — 118]. Применительно к задачам радиационного теплообмена он широко использовался в [Л. 89, 103, 119 — 121, 129].

Помимо математической формулировки задачи теплопроводности в виде дифференциальных уравнений и краевых условий для неоднородного анизотропного тела произвольной формы возможна также формулировка задачи в виде интегральных соотношений, в частности с помощью интеграла взвешенной невязки [12], содержащего весовые функции. Такая формулировка задачи, называемая интегральной, позволяет выявить некоторые общие свойства температурных полей и наряду с классическими методами строгого аналитического решения построить эффективные алгоритмы приближенного аналитического или численного решения.

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. § 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10].

При стационарном режиме работы термоизоляции х^ и ^m B (2.56) и (2.57) не будут зависеть от времени t и станут числовыми коэффициентами, которые могут быть определены из системы алгебраических уравнений (в общем случае нелинейных). Эту систему можно получить как из (2.47) при условии Tn = Ti, = О, так и из условия минимума функционала (2.48). В последнем случае метод приближенного аналитического решения задачи называют методом Рэлея-Ритца [10]. Этот метод применим и в случае конечно-элементной аппроксимации стационарного распределения температур в рассматриваемом неоднородном анизотропном теле произвольной формы.

Ниже рассматривается метод приближенного аналитического исследования свободномолекулярного течения пара с учетом поверхностной диффузии в цилиндрическом капилляре, ограниченном с одной стороны (Х = 0) плоской поверхностью испаряющейся жидкости, а с другой (X => L) — соединенном с резервуаром, заполненным парами этой жидкости. Поверхность жидкости характеризуется коэффициентом зеркального отражения а.

Здесь первое слагаемое характеризует поток молекул, диффузно испущенных дном и прошедших расстояние L без столкновений, второе —поток молекул, вошедших в капилляр через открытый конец, третье— поток молекул, которые без столкновений достигли дна, зеркально отразились от него и затем вышли через открытый конец, интегральный член — потоки молекул, десорбированных внутренней поверхностью капилляра и вышедших из него соответственно без столкновений со стенкой и после-зеркального отражения от дна. Сравнение приближенного аналитического решения уравнения (5-5-24) и его численного решения для точной функции К. (х) показало, что .значения п (х), соответствующие точному и приближенному выражениям К(х), различаются весьма незначительно, причем разность увеличивается с уменьшением QL и ростом /. Что же касается соответствующих значений N, то они отличаются одно от другого в большей степени, чем п (х).