Приближенного исследования

Изложенный метод приближенного интегрирования может быть применен как в случае аналитического, так и в случае графического задания всех функций, входящих в уравнения (16.14) — (16,19).

Уравнение (13.2) решается методом приближенного интегрирования (методами трапеций или Симптона) с помощью ЭВМ.

В тех случаях, когда речь идет о численном решении задачи, она, разумеется, может быть приближенно доведена до конца, например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же, однако, речь идет о нахождении общего решения, т. е. об умении записать решение дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, то задачу такого рода можно решить лишь для отдельных частных случаев функциональных зависимостей, выражающих силы. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь то, что это решение существует и является единственным (при нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на функции, выражающие силы) и что движение полностью определяется заданными начальными данными (29).

Изложенный метод приближенного интегрирования может быть применен как в случае аналитического, так и в случае графического задания всех функций, входящих в уравнения (16.14) — (16.19).

Аналитические решения, полученные путем непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точке данной системы. В противоположность этому в основу численного метода положено уравнение в форме конечных разностей, с помощью которого вычисляем температуру в некоторых, заранее выбранных точках данной системы. Это равноценно математическим приемам приближенного интегрирования. Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, которые не всегда осуществимы, то при помощи численного метода всегда возможно, по крайней мере приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи.

Одним из наиболее универсальных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений является метод Галеркина (или Бубнова—Галеркина *). Рассмотрим схему решения этим методом задач устойчивости, сводящихся к линейным задачам на собственные значения (см. приложение I).

Промежуток [а, Ы длиною Ъ — а= ?, фигурирующий в формулах (2. 35), условимся называть базовым. Выбор базового промежутка, вообще говоря, существенно влияет на поведение и величину табличных разностей подынтегральной функции и, следовательно, на точность результатов применения формул приближенного интегрирования.

1. Многочисленные работы механиков и математиков посвящены вопросам приближенного интегрирования и качественного исследования различных форм дифференциального уравнения движения поезда. В 1919 г. на уравнении движения поезда академик С. А. Чаплыгин [42] проиллюстрировал открытый им метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, ставший ныне классическим. В 1932 г. в работе академика Н. Н. Лузина [20] рассматривалось уравнение движения поезда

можно считать уже известными. Тогда вычисление шсу будет сводиться к применению тех или иных методов приближенного интегрирования и оценке погрешности полученного результата.

36. С. А. Чаплыгин. Основания нового способа приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Собр. соч., т. I. М.—Л., Гостех-издат, 1948.

37. Я. Н. Лузин. О методе приближенного интегрирования акад. С. А. Чаплыгина. — УМН, 1951, т. 6, № 6.

В гл. 5 изложены основы энергетического подхода к исследованию устойчивости пластин и рассмотрено использование энергетического метода для приближенного исследования поведения пластин после потери устойчивости.

В п. 23 была проиллюстрирована эффективность использования матриц переноса для приближенного исследования колебаний в многомассбвых системах с переменными параметрами. Здесь

Л-шения — известны из приближенного исследования эквивалентного вала,

ния меняется не очень сильно, в пределах ±0,25 Uu> что допустимо для первого приближенного исследования,

Система уравнений (3.20) представляет собой шесть дифференциальных уравнений с шестью неизвестными А, у, z, q, p, R, которые являются функциями времени t. Первое и пятое — нелинейные уравнения. Решение этой системы сводится к определению, например, перемещений рабочего органа в функции времени, т. е. к нахождению функции z — z(t). Порядок решения примем в соответствии с методикой приближенного исследования нелинейных автоматических систем, разработанной Е. П. Поповым [86]. Исследование устойчивости привода производим при его свободном движении, когда внешние воздействия сняты, т. е. 5 = 0 и х = 0. Имея в виду высокий (четвертый) порядок полученной системы уравнений, произведем некоторые упрощения, не затрагивающие качественной стороны характеристики привода, а именно: примем, что 'поршень цилиндра достаточно надежно уплотнен и утечки между полостями цилиндра, отсутствуют, т. е. С = 0, маслопроводы между копировальным прибором и силовым двигателем имеют достаточное проходное сечение, так что потерями на вязкое трение в них масла можно пренебречь, т. е. BI = 0, упругость маслопроводов незначительна по сравнению с таковой в полостях цилиндра или расположена у полостей цилиндра, т. е. В12 = 0, и связь между силовым цилиндром и рабочим органом имеет высокую жесткость, т. е.

Если это условие не выполняется, то изложенные ниже методы приближенного исследования параметрических колебаний оказываются неприменимыми. При G (0= = 0 уравнения (59) и (60) совпадают с (1), поэтому

Для приближенного исследования рассматриваемых динамических систем, в частности для определения амплитуды и частоты автоколебаний, можно применять метод гармонического баланса, который дает правильные результаты в случаях, когда колебания в системе близки к гармоническим [16] Систему (15) перепишем в виде

ределения численных значений /. Метод пригоден в основном для приближенного исследования влияния факторов и условий деформации на величину сил трения. Относительно более достоверные результаты получаются при прокатке тонких образцов, когда зависимость между давлением и трением выражена резко.

Численные результаты приближенного исследования представлены на рис. 3.10. С учетом условия нормировки и и _о? имеют следующие выражения:е^

Предположим, что нелинейные функции в уравнениях случайных колебаний являются аналитическими и допускают разложение в степенные ряды с ограниченным числом членов. Тогда для вывода моментных соотношений и приближенного исследования стационарных процессов может быть применен метод спектральных представлений в виде стохастических интегралов Фурье.