Приближенного вычисления

На начальном этапе работы новые приемы и алгоритмы проектирования динамических систем (исходная основа) получили название «метод эффективных полюсов и нулей», являющихся полюсами и нулями приближенного разложения передаточных функций динамических систем, однако более полно они характеризовались бы наименованием «метод замещающих систем уравнений». По соображениям удобства изложения авторы используют первое наименование.

В данном параграфе на основе анализа процессов в специально «сконструированной» замкнутой системе покажем, что при определенных условиях кривые процессов по отдельным координатам могут определяться без учета влияния всех звеньев этой системы. Эти координаты принимаются за отдельные составляющие приближенного разложения процесса.

Система уравнений (11.25) является системой «условной» в том смысле, в каком мы использовали этот термин применительно к системам уравнений (11.10), (11.13) для первого примера и аналогичным системам для второго примера, т. е. введенные в этой системе промежуточные координаты и используемые звенья не соответствуют в общем случае промежуточным координатам и звеньям конкретных систем, для которых передаточная функция имеет вид (II.4). Для того чтобы сделать различие между специально «конструируемыми» системами уравнений, которые используются в задаче приближенного разложения процесса на отдельные составляющие и аналогичны системе (11.25), и системами типа (11.10), будем первые называть замещающими системами уравнений.

Изложенные выше положения раскрывают схему задачи приближенного разложения процессов в системах на отдельные составляющие. Рассматриваемая схема применительно к данному случаю заключается в том, что при определении кривой второй составляющей процесса не учитывается влияние на ее протекание апериодического звена с постоянной времени Т3.

Есть еще одно обстоятельство, которое позволяет не учитывать влияние колебательного звена на протекание процесса по координате х± (для апериодического звена это обстоятельство отсутствует). Указанное обстоятельство состоит в том, что применение приближенного метода построения процессов (приближенного разложения процесса на отдельные составляющие) ограничивается первоначальной исходной предпосылкой метода, которая накладывает ограничение на колебательность отдельных составляющих.

При анализе примера 1 была раскрыта схема приближенного разложения процесса в системе на отдельные составляющие применительно к передаточной функции (II. 4). Однако применявшиеся при этом приемы имеют общий характер и были использованы для решения задачи в общем виде. Эти приемы будут использованы и при рассмотрении следующего примера, где подробные физические пояснения не будут излагаться и не будут рассматриваться последовательно все преобразования структурных схем.

Для того чтобы этот пример и материал следующего параграфа были понятны, распространим анализ примера 1 на общий случай и изложим в общем виде суть схемы приближенного разложения процесса на отдельные составляющие.

Вторая часть схемы приближенного разложения процессов на отдельные составляющие, которая вытекает фактически из первой, состоит в том, что при выделении очередной /-и составляющей процесса изменяются кривая х/, предыдущие составляющие, а из последующих лишь / + 1-я составляющая процесса. Кривые для всех других составляющих, начиная с / + 2-й составляющей, практически не изменяются.

Выше указывалось, что задача приближенного разложения процессов на отдельные составляющие аналогична задаче понижения порядка уравнений систем. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

На 'основе схемы задачи приближенного разложения процессов на отдельные составляющие покажем методику ее решения применительно к системам различных порядков. Вначале рассмотрим системы третьего порядка, затем четвертого и более высоких порядков. Причем здесь не будем подробно обосновывать каждый этап и переход. В основном покажем лишь физические основы решения задачи.

цессов, т. е. правых частей уравнений (числителей передаточных функций замкнутых систем). Однако для всей принятой рабочей области, за исключением точек, расположенных вблизи точки А, наибольшие возможные ошибки в описании кривых при использовании приближенного разложения процессов оказались вполне допустимыми независимо от начальных условий.

Для приближенного вычисления потерь на начальном участке можно пользоваться формулой (VIII-13), принимая

Для приближенного вычисления потерь на начальном участке можно пользоваться формулой (VIII — 13), принимая К — 70/Re.

Линейные многошаговые методы. При построении многошаговых схем, как и в схемах Рунге — Кутта, будем исходить из равенства 0-45). Однако для приближенного вычисления интеграла применим другой прием, а именно на основе значений функции / (т, и) в k

Рассмотрим способы приближенного вычисления потоков дп-1/г и <7п+»/2- Один из них, удовлетворяющий условию согласования, был уже рассмотрен, см. (3.38):

Формула (3.53) имеет следующий смысл: сумма мощности внутренних источников и потоков теплоты, выделяющейся на границах, равна сумме тепловых потоков, уходящих в среду через границы и рассеиваемых через боковую поверхность, и мощности, расходуемой на нагрев стержня. Заметим, что если величины доп получены при gv = qv (x) путем приближенного вычисления соответствующих интегралов, то «сеточная» полная мощность отличается от истинного значения полной мощности в исходной постановке задачи на величину погрешности квадратурных формул интегрирования.

Возможность приближенного вычисления интеграла (258) путем фиксирования параметра Ь0 имеет те же основания, что и ранее, но здесь более «жесткая» фиксация двух множителей, а следовательно, менее высокая степень точности. Физически такая операция фиксирования 0 (w0, г) означает пренебрежение зависимостью функции 0 (т — х, г) от осевой координаты и, следовательно, влиянием токов / (т) соседних элементов трубки друг на друга, причем сохраняется только влияние на потенциал точек среды v (х, г) со стороны радиально направленных токов поляризации / (х), выражаемое уравнением (258). Здесь очевидны следующие соотношения:

Возможность приближенного вычисления интеграла (258) путем фиксирования параметра со0 имеет те же основания, что и ранее, но здесь более «жесткая» фиксация двух множителей, а следовательно, менее высокая степень точности. Физически такая операция фиксирования 0 (со0, г) означает пренебрежение зависимостью функции 0 (т — х, г) от осевой координаты и, следовательно, влиянием токов / (т) соседних элементов трубки друг на друга, причем сохраняется только влияние на потенциал точек среды v (х, г) со стороны радиально направленных токов поляризации / (х), выражаемое уравнением (271). Здесь очевидны следующие соотношения:

Если исходная система представляется в виде иерархической структуры со многими уровнями, то последовательное получение нижних (верхних) оценок, естественно, ухудшает их качество. В связи с этим можно предложить способ приближенного вычисления эффективности, заключающейся в следующем.

Однако иа-за сложности и громоздкости вычисления коэффициентов Эйлера — Фурье он вряд ли может здесь оказаться эффективным. Другой путь использует достаточно хорошо разработанные способы приближенного вычисления определенных интегралов и позволяет табулировать последовательные приближения к искомому периодическому предельному режиму в определенных точках.

Для простоты записи формул и упрощения расчетов условимся промежуток [0, ?] делить на равные частж (что и делают в большинстве формул приближенного вычисления определенных интегралов). Тогда

В процессе приближенного вычисления определенного интеграла, стоящего в правой части этого равенства, в качестве точек деления целесообразно выбирать именно прежние точки деления